Câu hỏi 14
Gọi $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$ là một dãy số hữu tỉ được xác định bởi sự lặp lại như sau: $x_{0}$ là bất kỳ số hữu tỉ nào, và đối với $n \geq 0$, $$
x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { se il numeratore di } x_{n} \text { è pari }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { se il numeratore di } x_{n} \text { è dispari },\end{cases}
$$ trong đó tử số của Một số hữu tỉ có nghĩa là phân số giảm xuống mức tối thiểu. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $x_{0}$:
(a) , dãy chỉ chứa một số hữu hạn số hạng phân biệt;
(b) Trình tự chứa chính xác một trong các số 0 và $2 / 3$ (tức là có một chỉ mục $k$ sao cho $x_{k}=0$, hoặc có một chỉ mục $m$ sao cho $x_{m}=2 / 3$, nhưng chúng không tồn tại cả hai).
x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { se il numeratore di } x_{n} \text { è pari }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { se il numeratore di } x_{n} \text { è dispari },\end{cases}
$$ trong đó tử số của Một số hữu tỉ có nghĩa là phân số giảm xuống mức tối thiểu. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $x_{0}$:
(a) , dãy chỉ chứa một số hữu hạn số hạng phân biệt;
(b) Trình tự chứa chính xác một trong các số 0 và $2 / 3$ (tức là có một chỉ mục $k$ sao cho $x_{k}=0$, hoặc có một chỉ mục $m$ sao cho $x_{m}=2 / 3$, nhưng chúng không tồn tại cả hai).