Đặt $F$ là tập hợp tất cả các bộ $n$ $(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n})$ trong đó mỗi $A_{i}$, $i=1,2, \ldots, n$ là tập con của $\{1,2, \ldots, 1998\}$. Gọi $|A|$ là số phần tử của tập hợp $A$. Tìm số
$$
\sum_{(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n})} |A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}|.
$$
Giả sử $ABC'$ là một hình tam giác và $D$ là chân đường cao tính từ $A$. Cho $E$ và $F$ nằm trên một đường thẳng đi qua $D$ sao cho $AE$ vuông góc với $BE$, $AF$ vuông góc với $CF$ và $E$ và $F$ khác với $D$. Đặt $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$ và $EF$. Chứng minh $AN$ vuông góc với $NM$.
15 số nguyên dương nhỏ hơn $1998$ là nguyên tố cùng nhau (không có cặp số nào có ước chung lớn hơn $1$). Chứng minh rằng ít nhất một trong số chúng phải là số nguyên tố.
Hai nhà toán học, bị lạc ở Berlin, đến góc phố Barbarossa với phố Martin Luther và cần đến góc phố Meininger với phố Martin Luther. Thật không may, họ không biết phải đi dọc theo Phố Martin Luther theo hướng nào để đến Phố Meininger cũng như không biết phải đi bao xa, vì vậy họ phải đi tới đi lui dọc theo Phố Martin Luther cho đến khi đến đích. Giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $K$ là bao nhiêu để họ có thể chắc chắn rằng nếu có các khối $N$ nằm giữa phố Barbarossa và phố Meininger thì họ có thể đến đích bằng cách đi bộ không quá các khối $KN$ (bất kể $N$ là gì)? Các nhà toán học luôn đồng hành cùng nhau.
Hai người chơi chơi một trò chơi như sau. Có các vòng $n \gt 1$ và $d \ge 1$ được cố định. Ở vòng đầu tiên, A chọn số nguyên dương $m_1$, sau đó B chọn số nguyên dương $n_1 \ne m_1$. Trong vòng $k$ (đối với $k = 2, \dots, n$), A chọn một số nguyên $m_k$ sao cho $m_{k-1} \lt m_k \le m_{k-1} + d$. Sau đó B chọn một số nguyên $n_k$ sao cho $n_{k-1} \lt n_k \le n_{k-1} + d$. A nhận được điểm $\gcd(m_k, n_{k-1})$ và B nhận được điểm $\gcd(m_k, n_k)$. Sau các vòng $n$, A thắng nếu có ít nhất số điểm bằng B, nếu không thì thua. Với mỗi $n, d$, người chơi nào có chiến lược chiến thắng?
Hai người chơi chơi một trò chơi như sau. Người chơi đầu tiên chọn hai số nguyên khác 0 $A$ và $B$. Người chơi thứ hai tạo thành một phương trình bậc hai với các hệ số $A$, $B$ và $1998$ (theo bất kỳ thứ tự nào). Người chơi đầu tiên thắng nếu phương trình có hai nghiệm hữu tỷ riêng biệt. Chứng minh rằng người chơi đầu tiên luôn có thể giành chiến thắng.
$ABC$ là một hình tam giác. $D$ là trung điểm của $AB$, $E$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BE = 2EC$ và $\angle ADC = \angle BAE$. Tìm $\angle BAC$.
Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ tồn tại tập hợp $S$ với các tính chất sau:
(i) $S$ bao gồm các số nguyên dương $n$, tất cả đều nhỏ hơn $2^{n-1}$;
(ii) đối với hai tập con riêng biệt bất kỳ $A$ và $B$ của $S$, tổng các phần tử của $A$ khác với tổng các phần tử của $B$.
Hãy xem xét một trận đấu bóng bàn giữa hai đội, mỗi đội gồm những người chơi $1000$. Mỗi người chơi đấu với mỗi người chơi của đội kia đúng một lần (không có trận hòa nào trong bóng bàn). Chứng minh rằng tồn tại 10 người chơi, tất cả đều thuộc cùng một đội, sao cho mỗi thành viên của đội kia đều thua ít nhất một trong 10 người đó.
Giả sử $P$ là đa thức bậc $6$ và $a, b$ là các số thực sao cho $0 \lt a \lt b$. Giả sử rằng $P(a) = P(-a)$, $P(b) = P(-b)$ và $P'(0) = 0$. Chứng minh rằng $P(x) = P(-x)$ với mọi $x$ thực.
Có thể phủ bàn cờ $13 \times 13$ bằng 42 ô có kích thước $4 \times 1$ sao cho chỉ còn lại ô vuông trung tâm của bàn cờ được không? (Giả định rằng mỗi quân cờ bao phủ chính xác bốn ô vuông của bàn cờ và các quân cờ không chồng lên nhau.)
Cho $n \geqslant 4$ là số nguyên chẵn. Một $n$-gon đều và một $(n-1)$-gon đều được ghi vào vòng tròn đơn vị. Đối với mỗi đỉnh của $n$-gon, hãy xem xét khoảng cách từ đỉnh này đến đỉnh gần nhất của $(n-1)$-gon, được đo dọc theo chu vi. Đặt $S$ là tổng của các khoảng cách $n$ này. Chứng minh rằng $S$ chỉ phụ thuộc vào $n$ chứ không phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai đa giác.
Chúng ta nói rằng số nguyên $m$ bao gồm số 1998 nếu $1,9,9,8$ xuất hiện theo thứ tự này dưới dạng các chữ số của $m$. (Ví dụ: 1998 được bao phủ bởi 215993698 nhưng không phải bằng 213326798.) Gọi $k(n)$ là số số nguyên dương bao phủ 1998 và có chính xác các chữ số $n$ ($n \geqslant 5$), tất cả đều khác 0. Phần còn lại của $k(n)$ khi chia cho 8 là bao nhiêu?
Trong một tam giác $ABC$, $\angle BAC = 90^\circ$. Điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ và thỏa mãn $\angle BDA = 2 \angle BAD$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{|AD|} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{|BD|} + \frac{1}{|CD|} \right)
$$
Trong hình ngũ giác lồi $A B C D E$, các cạnh $A E$ và $B C$ song song và $\angle A D E=\angle B D C$. Các đường chéo $A C$ và $B E$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $\angle E A D=\angle B D P$ và $\angle C B D=\angle A D P$.
Cho $n$ và $k$ là số nguyên dương. Có các đối tượng $n k$ (có cùng kích thước) và các hộp $k$, mỗi hộp có thể chứa các đối tượng $n$. Mỗi đối tượng được tô màu bằng một trong các màu khác nhau của $k$. Chứng minh rằng các đồ vật có thể được xếp vào các hộp sao cho mỗi hộp chứa nhiều nhất các đồ vật có hai màu.
Cho $P$ là một đa thức có hệ số nguyên. Giả sử rằng đối với $n=1,2,3, \ldots, 1998$, số $P(n)$ là số nguyên dương có ba chữ số. Chứng minh rằng đa thức $P$ không có nghiệm nguyên.