Cho một khối tứ diện thông thường của bên $a$. Lấy hai cặp mặt đối diện: $E, E'$ và $F, F'$. Đối với cặp $E, E'$, hãy lấy đường nối các tâm của các khuôn mặt và lấy điểm $A$ và $C$ trên đường thẳng mỗi khoảng cách $m$ bên ngoài một trong các khuôn mặt. Tương tự, đưa $B$ và $D$ lên đường nối các tâm của $F, F'$ mỗi khoảng cách $m$ bên ngoài một trong các khuôn mặt. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật và tìm tỷ lệ độ dài cạnh của nó.
$ABCD$ là tứ giác lồi. Trung tâm hình vuông $E, F, G, H$ được xây dựng ở bên ngoài các cạnh $AB, BC, CD$ và $DA$ tương ứng. Chứng tỏ $EG$ và $FH$ bằng nhau và vuông góc.
$ABC$ là hình tam giác với $\angle A = 90^\circ$. Đối với một điểm $D$ ở bên cạnh $BC$, bàn chân của đường vuông góc với $AB$ và $AC$ là $E$ và $F$. $D$ $EF$ là tối thiểu cho điểm nào?
Mỗi ngày 289 học sinh được chia thành 17 nhóm 17. Không có hai học sinh nào ở cùng một nhóm nhiều hơn một lần. Số ngày lớn nhất mà điều này có thể được thực hiện là bao nhiêu?
Một số nguyên có thể chia hết kỹ thuật số nếu
(a) không có chữ số nào của nó bằng 0;
(b) Nó chia hết cho các chữ số của nó (ví dụ: $322$ là chia hết kỹ thuật số). chứng tỏ rằng có vô số số nguyên chia hết số.
Một tam giác góc nhọn có diện tích đơn vị. Chứng minh rằng có một điểm bên trong tam giác có khoảng cách từ mỗi đỉnh ít nhất là $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$.
Alice và Bob đang ở trong một cửa hàng phần cứng. Cửa hàng bán các loại tay áo màu vừa vặn để phân biệt chúng. Cuộc trò chuyện sau đây diễn ra: Alice: Bạn có định che chìa khóa của mình không? Bob: Tôi muốn, nhưng chỉ có 7 màu và tôi có 8 phím. ALICE: Có, nhưng bạn luôn có thể phân biệt một phím bằng cách nhận thấy rằng chìa khóa màu đỏ bên cạnh phím màu xanh lá cây khác với phím màu đỏ bên cạnh phím màu xanh lam. Bob: Bạn phải cẩn thận với ý của bạn khi "bên cạnh" hoặc "ba phím trên từ" vì bạn có thể lật vòng chìa khóa và các phím được sắp xếp thành một vòng tròn. Alice: Mặc dù vậy, bạn không cần 8 màu. Vấn đề: Số lượng màu nhỏ nhất cần thiết để phân biệt các phím $n$ là bao nhiêu nếu tất cả các phím được che phủ.
Cho $a, b, c$ và $d$ là các số nguyên lẻ như $0\lt a\lt b\lt c\lt d$ và $a d = b c$. Chứng minh rằng nếu $a + d = 2^{k}$ và $b + c = 2^{m}$ cho một số số nguyên nhất định $k$ và $m$, thì $a = 1$.
Chúng ta có hai điểm khác nhau trong mặt phẳng là $A$ và $O$. Đối với mỗi điểm $X$ của máy bay khác với $O$, chúng tôi ký hiệu là $\alpha(X)$ phép đo góc giữa $OA$ và $OX$, trong radian, và đếm ngược chiều kim đồng hồ từ $OA$ $(0 \leq \alpha(X)\lt 2\pi)$. Cho $C(X)$ chu vi trung tâm $O$ và bán kính chiều dài $OX + \frac{\alpha(X)}{OX}$. Chúng ta có một số lượng hữu hạn các màu và tô màu cho mỗi dấu chấm trên mặt phẳng với chúng. Chứng minh rằng có một điểm $Y$ sao cho $\alpha(Y)\gt 0$ và sao cho màu của nó xuất hiện trên chu vi của $C(Y)$.
Gọi $d$ là tổng độ dài của tất cả các đường chéo của một đa giác lồi phẳng của $n$ đỉnh $(n\gt 3)$ và để $p$ chu vi của nó. Chứng minh rằng $$
n-3\lt \frac{2d}{p}\lt \left[\frac{n}{2}\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2
$$ là $[x]$ toàn bộ phần của $x$.
Tìm một cặp số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho 1) $a b(a+b)$ không chia hết cho $7$; 2) $(a+b)^{7}-a^{7}-b^{7}$ được chia hết cho $7^{7}$. biện minh cho câu trả lời.
Cho $ABCD$ là tứ giác lồi sao cho đường thẳng $CD$ tiếp tuyến với đường kính $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ là tiếp tuyến với đường kính $CD$ nếu và chỉ khi các đường $BC$ và $AD$ là song song.
$ABC$ là tam giác và $P$ là điểm nào. Các đường thẳng $PA$, $PB$, $PC$ cắt đường tròn ngoại tiếp của $ABC$ một lần nữa tại $A'$, $B'$, $C'$ tương ứng. Chứng minh rằng có nhiều nhất tám điểm $P$ sao cho $A'B'C'$ phù hợp với $ABC$.
Mỗi trọng lượng trong một bộ $n$ có trọng lượng không thể tách rời và tổng trọng lượng của bộ là $2n$. Một số dư ban đầu là trống. Sau đó, chúng tôi đặt các quả nặng lên một chảo của sự cân bằng từng cái một. Mỗi lần chúng ta đặt trọng lượng nặng nhất chưa được đặt. Nếu chảo cân bằng, thì chúng tôi đặt trọng lượng lên chảo bên trái. Nếu không, chúng tôi đặt trọng lượng lên chảo nhẹ hơn. Chứng minh rằng khi tất cả các trọng lượng đã được đặt, cân sẽ cân bằng. [Ví dụ, nếu trọng số là $2$, $2$, $1$, $1$. Sau đó, chúng ta phải đặt $2$ vào chảo bên trái, tiếp theo là $2$ ở chảo bên phải, tiếp theo là $1$ ở chảo bên trái, tiếp theo là $1$ ở chảo bên phải.]
Tìm tất cả các cặp chữ số $(b, c)$ sao cho số $b \ldots b6c \ldots c4$, trong đó có $n$ $b$s và $n$ $c$S, là hình vuông cho tất cả các số nguyên dương $n$.