ASMO Toán 2022 — Lớp 11 — Vòng trường

Tính $\frac{100^3(100-1)}{100^2-1}\times\frac{(100-1)(100+1)}{100^2}$.

Giải phương trình $\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}=1$.

Cho hàm bậc ba $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ với a, b, c thực. Biết $f(2)=26$, $f(5)=290$ và $f(1)=6$. Tìm $a+b+c$.

Cho $x=1/(3-\sqrt{8})$. Giải phương trình với giá trị x đã cho: $\frac{x}{x^2-1}(x^2-6x+1)-(x^2-2\sqrt{8}x)+4x^2-4x$.

Một quản lý cửa hàng ghi số khách mua hàng theo ngày trong tuần: Thứ hai $x+3$; Thứ ba $5x+2$; Thứ tư $3x+2$; Thứ năm $4x+9$; Thứ sáu $7x+4$. Biết trung bình là 16 khách. Tìm tổng của giá trị nhỏ nhất, trung vị và lớn nhất.

Cho $\cos x=\sin x+1$, x là góc của tam giác và $\sin x<0$. Tính $\frac{\sin^2x+\sin x-2}{\sin x-1}\times\frac{\sin^3x+16\sin^2x-5\sin x+5}{7\sin^2x+2\sin x}$. Gợi ý: dùng $\sin^2x+\cos^2x=1$ và điều kiện $\sin x<0$.

Tính $\frac{1}{\log_2(2\sqrt{3})}+\frac{1}{\log_8(2\sqrt{3})}+\frac{1}{\log_3(2\sqrt{3})}+\frac{1}{\log_3(2\sqrt{3})}$.

Tìm tất cả cặp có thứ tự $(x,y)$ nguyên dương thỏa $\sqrt{2x}\sqrt{4xy}-\sqrt{2x}\sqrt{320}+\sqrt{2y}\sqrt{4xy}-\sqrt{2y}\sqrt{320}+\sqrt{320}\sqrt{4xy}-320=0$.

Biết $X\times Y=4^5+2^{16}$ với X, Y nguyên dương. Tính $X/4+(Y+5)/10$.

Hình vẽ gồm các đa giác tô màu và không tô, đơn vị mét. ABCDEFG là hình chữ nhật có các tam giác vuông BFE, BCE, ECD và hình thang ABFG. Biết GF=3 m, FE=4 m, FB=5 m; góc BEC bằng 45°. Tìm tổng diện tích phần tô màu.

Tính $\frac{1}{\log_2(4\sqrt{5})}+\frac{1}{\log_5(4\sqrt{5})}+\frac{1}{\log_4(4\sqrt{5})}+\frac{1}{\log_2(4\sqrt{5})}$.

Cho

$$z=y^3(4y^2+2y-1)+4y^2+4\sqrt{5}\,y-14$$

và

$$y=\frac{1}{1-\sqrt{5}}.$$

Tìm giá trị chính xác của $z$.

Tìm số cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa $x^6=y^2+127$.

Hai số nguyên dương X, Y thỏa $X\times Y=4^8+32^2$. Tính $X/8+Y/5$.

Tìm số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $(2+\sqrt{5})^4$.

Phương trình $(m-20)^3+(m-22)^3=(2m-42)^3$ có ba nghiệm nguyên dương $m_1,m_2,m_3$. Tính $m_1m_2m_3$.

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ được xác định bởi

$$f(x)=x+2x^2+3x^3+\cdots+100x^{100}.$$

Tìm số giá trị nguyên dương $x\ne1$ sao cho số nguyên $f(x)$ chia hết cho số nguyên $x-1$.

Cho $f(x)=\frac{1}{2}[x^2+x-1+|x^2-(x-1)|]$ và $g(x)=7x+20$ với x thực. Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$. Giải $h(x)=0$ và biểu diễn nghiệm dạng $a+b\sqrt{c}$.

Không dùng máy tính, tính $\sqrt{3}\,\csc20^\circ-\sec20^\circ$.

Hình gồm tam giác vuông ABC được chia thành hai tam giác vuông ABD và BDC. AB=3, BC=4; AD=x, DC=y, đường cao BD=z. Tìm $x+y+z$.