MathNet 1979 — Phần 01

Chứng minh rằng nếu $a \lt b$ nằm trong khoảng $[0, \pi/2]$ thì $a - \sin a \lt b - \sin b$. Điều này có đúng với $a \lt b$ trong khoảng $[\pi, 3\pi/2]$ không?

Phần còn lại khi chia đa thức $p(x)$ cho $x^2 - (a+b)x + ab$ (trong đó $a$ và $b$ là không bằng nhau) là $mx + n$. Tìm các hệ số $m, n$ theo $a, b$. Tìm $m, n$ cho trường hợp $p(x) = x^{200}$ chia cho $x^2 - x - 2$ và chứng tỏ rằng chúng là số nguyên.

Đỉnh $C$ của tam giác $ABC$ được phép thay đổi dọc theo một đường song song với $AB$. Tìm quỹ tích của orthocenter.

Chứng minh rằng số lượng các nghiệm nguyên dương cho $$
x_1 + 2^3 x_2 + 3^3 x_3 + \cdots + 10^3 x_{10} = 3025 \quad (*)
$$ bằng số các nghiệm nguyên không âm của phương trình $$
y_1 + 2^3 y_2 + 3^3 y_3 + \cdots + 10^3 y_{10} = 0
$$ do đó chứng tỏ rằng (*) có một nghiệm duy nhất trong các số nguyên dương và tìm nó.

(i) $ABCD$ là hình vuông có cạnh $1$. $M$ là trung điểm của $AB$, và $N$ là trung điểm của $BC$. Các dòng $CM$ và $DN$ gặp nhau tại $I$. Tìm diện tích tam giác $CIN$. (ii) Các trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ của hình bình hành $ABCD$ là $M$, $N$, $P$, $Q$ tương ứng. Mỗi điểm giữa được nối với hai đỉnh không nằm ở phía bên của nó. Chứng minh rằng diện tích nằm ngoài ngôi sao 8 cánh là $2/5$ diện tích hình bình hành. (iii) $ABC$ là tam giác với $CA = CB$ và Centroid $G$. Chứng minh rằng diện tích $AGB$ là $1/3$ của diện tích $ABC$. (iv) (ii) có đúng với tất cả các tứ giác lồi $ABCD$ không?

Trong hình học Euclide, người ta biết rằng tổng các góc của một tam giác là không đổi. Tuy nhiên, chứng minh rằng tổng các góc nhị diện của tứ diện không phải là hằng số. Lưu ý. (i) Một tứ diện là một hình chóp tam giác, và (ii) một góc nhị diện là góc bên trong giữa một cặp mặt.

Cho $a, b, c, d, e$ là số nguyên sao cho $1 \leq a \lt b \lt c \lt d \lt e$. Chứng minh rằng $$
\frac{1}{[a, b]} + \frac{1}{[b, c]} + \frac{1}{[c, d]} + \frac{1}{[d, e]} \leq \frac{15}{16}
$$ trong đó $[m, n]$ biểu thị bội số chung nhỏ nhất của $m$ và $n$ (ví dụ: $[4,6]=12$).

Đi bộ bao gồm một chuỗi các bước có chiều dài $1$ được thực hiện theo các hướng bắc, nam, đông hoặc tây. Đi bộ là tự tránh nếu nó không bao giờ đi qua cùng một điểm hai lần. Cho $f(n)$ biểu thị số lần đi bộ $n$-bước bắt đầu từ điểm gốc. Tính toán $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$ và hiển thị rằng $$
2^{n} \lt f(n) \leq 4 \cdot 3^{n-1}
$$

Một con chó đứng ở trung tâm của một đấu trường hình tròn nhìn thấy một con thỏ ở bức tường. Con thỏ chạy quanh bức tường và con chó theo đuổi nó dọc theo một con đường duy nhất được xác định bằng cách chạy cùng tốc độ và ở trên đường xuyên tâm nối giữa đấu trường với thỏ. Chứng minh rằng con chó vượt qua con thỏ ngay khi nó đạt đến một phần tư quãng đường xung quanh đấu trường.

Cho: (i) $a, b \gt 0$; (ii) $a, A_{1}, A_{2}, b$ là cấp số cộng; (iii) $a, G_{1}, G_{2}, b$ là một cấp số nhân. Cho thấy rằng $$
A_{1} A_{2} \geq G_{1} G_{2}
$$

Một bộ thảm vuông có tổng diện tích $4$. Chứng minh rằng chúng có thể bao phủ một hình vuông đơn vị.

$T$ là tam giác cân. Một tam giác cân khác $T'$ có một đỉnh ở mỗi cạnh của $T$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $\dfrac{\text{khu vực } T'}{\text{khu vực } T}$ là bao nhiêu?

Cho một tập hợp hữu hạn $X$ điểm trong mặt phẳng. $S$ là một tập các vectơ $AB$ trong đó $(A, B)$ là một số cặp điểm trong $X$. cho mỗi điểm $A$ số vectơ $AB$ (bắt đầu từ $A$) trong $S$ bằng số vectơ $CA$ (kết thúc tại $A$) trong $S$. Chứng minh rằng tổng của các vectơ trong $S$ bằng không.

a và b là các số thực. Tìm thực tế $x$ và $y$ thỏa mãn: $$(x - y)(x^2 - y^2)^{1/2} = a(1 - x^2 + y^2)^{1/2}$$ và $$(y - x)(x^2 - y^2)^{1/2} = b(1 - x^2 + y^2)^{1/2}.$$

Hai đường chéo chia một tứ giác lồi thành bốn tam giác. Các đường tròn nội tiếp của bốn tam giác ấy có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng bốn cạnh của tứ giác bằng nhau.

Trong một nhóm người, mỗi người có ít hơn kẻ thù $4$. Giả sử rằng $A$ là kẻ thù của $B$ là IFF $B$ là kẻ thù của $A$. Chứng minh rằng chúng ta có thể chia nhóm thành hai phần, để mỗi người có nhiều nhất một kẻ thù trong phần của mình.

Số lượng nhỏ nhất có thể được đặt trên bàn cờ $8 \times 8$ sao cho mỗi hàng, cột và đường chéo có ít nhất một mảnh? [Một đường chéo là bất kỳ đường thẳng nào song song với một trong hai đường chéo chính, vì vậy có 30 đường chéo trong tất cả.] Số nhỏ nhất của bảng $n \times n$ là bao nhiêu?

Tìm một dãy $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{25}$ của 0 và 1 sao cho các tổng sau là số lẻ: $$
\begin{array}{rl}
& a_{1}a_{1} + a_{2}a_{2} + \ldots + a_{25}a_{25} \\
& a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \ldots + a_{24}a_{25} \\
& a_{1}a_{3} + a_{2}a_{4} + \ldots + a_{23}a_{25} \\
& \ldots \\
& a_{1}a_{24} + a_{2}a_{25}
\end{array}
$$ chứng tỏ rằng chúng ta có thể tìm thấy một Trình tự tương tự của các thuật ngữ $n$ cho một số $n \gt 1000$.

Cho một điểm $P$ trong không gian và 1979 dòng $L_1$, $L_2$, ..., $L_{1979}$ chứa nó. Không có hai đường thẳng vuông góc. $P_1$ là một điểm trên $L_1$. Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy một điểm $A_n$ trên $L_n$ (cho $n = 2$, $3$, ..., $1979$) sao cho sau đây 1979 Các cặp đường đều vuông góc: $A_{n-1}A_{n+1}$ và $L_n$ cho $n = 1$,..., $1979$. [Chúng tôi coi $A_{-1}$ là $A_{1979}$ và $A_{1980}$ là $A_1$.]

Cho $S$ là bộ $\{0, 1\}$. Với bất kỳ tập hợp con nào của $S$, chúng tôi có thể thêm giá trị số học của nó vào $S$ (miễn là nó chưa được bao gồm - $S$ không bao giờ bao gồm các bản sao). Chứng minh rằng bằng cách lặp lại quá trình này, chúng ta có thể đưa số $1/5$ vào $S$. Chứng minh rằng cuối cùng chúng ta có thể bao gồm bất kỳ số hữu tỉ nào giữa $0$ và $1$.