Cho $P(x, y)$ là một đa thức trong hai biến $x, y$ sao cho $P(x, y) = P(y, x)$ cho mọi $x, y$ (ví dụ, đa thức $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ thỏa mãn điều kiện này). Cho rằng $(x - y)$ là một yếu tố của $P(x, y)$, cho thấy $(x - y)^{2}$ là một yếu tố của $P(x, y)$.
Hai học sinh lớp bảy được phép tham gia một giải đấu cờ vua bao gồm các học sinh lớp tám. Mỗi thí sinh chơi một lần với nhau và nhận được một điểm cho một chiến thắng, một nửa điểm cho một trận hòa và bằng không khi thua. Hai học sinh lớp bảy cùng nhau đạt được tổng cộng tám điểm và mỗi học sinh lớp tám đạt điểm số điểm như các bạn cùng lớp. Có bao nhiêu học sinh từ lớp tám tham gia giải cờ vua? Lời giải có phải là duy nhất?
Nếu $A, B, C, D$ là bốn điểm trong không gian, sao cho $$
\angle A B C=\angle B C D=\angle C D A=\angle D A B=\pi / 2
$$ chứng minh rằng $A, B, C, D$ nằm trong một mặt phẳng.
Cho $AB$ là đường kính của một vòng tròn, $C$ là bất kỳ điểm cố định nào giữa $A$ và $B$ trên đường kính này và $Q$ là một Điểm biến đổi trên chu vi đường tròn. Gọi $P$ là điểm trên đường được xác định bởi $Q$ và $C$ mà $\frac{AC}{CB} = \frac{QC}{CP}$. Mô tả, có chứng minh, quỹ tích của điểm $P$.
Mỗi trong số 36 đoạn thẳng nối 9 điểm riêng biệt trên một vòng tròn được tô màu đỏ hoặc xanh lam. Giả sử mỗi tam giác được xác định bởi 3 trong số 9 điểm chứa ít nhất một cạnh màu đỏ. Chứng minh rằng có bốn điểm sao cho 6 đoạn nối chúng đều có màu đỏ.
$S$ là hình cầu có bán kính đơn vị. $P$ là một mặt phẳng đi qua tâm. Đối với bất kỳ điểm nào $x$ trên quả cầu, $f(x)$ là khoảng cách vuông góc từ $x$ đến $P$. Chứng minh rằng nếu $x$, $y$, $z$ là đầu của ba bán kính vuông góc lẫn nhau, thì $f(x)^2 + f(y)^2 + f(z)^2 = 1$ (*). Bây giờ hãy để $g(x)$ là bất kỳ chức năng nào trên các điểm của $S$ lấy các giá trị thực không âm và thỏa mãn (*). Coi giao điểm của $P$ và $S$ là đường xích đạo, các cực là các điểm với $f(x) = 1$ và các đường kinh độ là hình bán nguyệt qua cả hai cực. (1) Nếu $x$ và $y$ có cùng kinh độ và cả hai đều nằm cùng phía của đường xích đạo với $x$ gần cực hơn, cho thấy rằng $g(x) \gt g(y)$. (2) Cho thấy rằng đối với bất kỳ $x$ nào, $y$ ở cùng phía của đường xích đạo với $x$ gần cực hơn $y$ chúng ta có $g(x) \gt g(y)$. (3) Chứng minh rằng nếu $x$ và $y$ là cùng một khoảng cách từ cực thì $g(x) = g(y)$. (4) Hiển thị rằng $g(x) = f(x)$ cho tất cả $x$.
Bạn được tặng một $n$-GON thông thường. Mỗi đỉnh được đánh dấu $+1$ hoặc $-1$. Một động thái bao gồm việc thay đổi dấu hiệu của tất cả các đỉnh tạo thành $k$-GON thông thường cho một số $1 \lt k \leq n$. [Một $2$-GON thông thường có nghĩa là hai đỉnh có tâm của $n$-GON là điểm giữa của chúng.] Ví dụ, nếu chúng ta gắn nhãn các đỉnh của một thông thường $6$-GON $1, 2, 3, 4, 5, 6$, sau đó bạn có thể thay đổi dấu hiệu của $\{1, 4\}$, $\{2, 5\}$, $\{3, 6\}$, $\{1, 3, 5\}$, $\{2, 4, 6\}$ hoặc $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Chỉ ra rằng đối với (1) $n = 15$, (2) $n = 30$, (3) bất kỳ $n \gt 2$ nào, chúng ta có thể tìm thấy một số dấu ban đầu không thể thay đổi thành tất cả $+1$ bằng bất kỳ chuỗi các bước di chuyển. Cho $f(n)$ là số lượng dấu hiệu lớn nhất, để không ai có thể lấy được từ bất kỳ người nào khác bằng bất kỳ chuỗi di chuyển nào. Hiển thị rằng $f(200) = 2^{80}$.
$n$ Số thực được viết xung quanh một vòng tròn. Một trong những con số là $1$ và tổng của các số là $0$. Chứng minh rằng có hai số liền kề có hiệu số ít nhất là $n/4$. Chứng minh rằng có một số khác với giá trị trung bình số học của hai hàng xóm của nó ít nhất là $8/n^2$. Cải thiện kết quả này lên một số $k/n^2$ với $k \gt 8$. Cho thấy rằng đối với $n = 30$, chúng ta có thể lấy $k = 1800/113$. Cho một ví dụ về các số $30$ sao cho không có số nào khác với giá trị trung bình số học của hai hàng xóm của nó nhiều hơn $2/113$.
Ban đầu, có một con bọ trên mỗi hình vuông trong bộ $S$. Đột nhiên mỗi con bọ bay đến một hình vuông mới, tuân theo các điều kiện sau: (1) Hình vuông mới có thể giống với hình vuông cũ hoặc khác; (2) Nhiều hơn một con bọ có thể chọn cùng một hình vuông mới; (3) Nếu ban đầu hai con bọ nằm trong hình vuông có đỉnh chung, thì sau chuyến bay, chúng ở cùng một hình vuông hoặc trong các hình vuông có đỉnh chung. Giả sử $S$ là tập hợp tất cả các ô vuông ở hàng giữa và cột của bàn cờ $99 \times 99$, có đúng là phải luôn có một con bọ có hình vuông mới chia sẻ một đỉnh với hình vuông cũ của nó (hoặc giống hệt với nó)? Điều gì sẽ xảy ra nếu $S$ cũng bao gồm tất cả các ô vuông biên giới (vì vậy $S$ là hàng $1$, $50$ và $99$ và các cột $1$, $50$ và $99$)? Điều gì sẽ xảy ra nếu $S$ là tất cả các hình vuông của bảng?
Có ba con đường thẳng. Trên mỗi con đường, một người đàn ông đang đi với tốc độ không đổi. Tại thời điểm $t = 0$, ba người đàn ông không thẳng hàng. Chứng minh rằng họ sẽ đối chiếu với $t \gt 0$ nhiều nhất là hai lần.
Bạn có thể gắn nhãn cho mỗi đỉnh của một khối lập phương bằng một số nhị phân ba chữ số khác nhau để các số ở hai đỉnh liền kề bất kỳ khác nhau ở ít nhất hai chữ số không?
Hình chữ nhật $n$ được vẽ trên một tờ giấy hình chữ nhật. Mỗi hình chữ nhật có các cạnh của nó song song với các cạnh của tờ giấy. Không có cặp hình chữ nhật nào có điểm chung bên trong. Nếu các hình chữ nhật được loại bỏ cho thấy rằng phần còn lại của tấm sẽ nằm trong hầu hết các bộ phận $n + 1$.
Các vòng tròn $C_1$, $C_2$, $C_3$ với bán kính bằng nhau đều đi qua điểm $X$. $C_i$ và $C_j$ cũng giao nhau tại điểm $Y_{ij}$. Chứng minh rằng $\angle X O_1 Y_{12} + \angle X O_2 Y_{23} + \angle X O_3 Y_{31} = 180^\circ$ trong đó $O_i$ là tâm của Circle $C_i$.
1000 số được viết ở dòng 1, sau đó các dòng tiếp theo được xây dựng như sau. Nếu số $m$ xảy ra trong dòng $n$, thì chúng tôi viết dưới nó thành dòng $n + 1$, mỗi khi nó xảy ra, số lần $m$ xảy ra trong dòng $n$. Chứng minh rằng dòng 11 và 12 giống hệt nhau. Chứng minh rằng chúng ta có thể chọn các số ở dòng 1, để dòng 10 và 11 không giống nhau.
Gọi một tam giác lớn nếu mỗi cạnh dài hơn $1$. Chứng minh rằng chúng ta có thể vẽ các tam giác lớn $100$ bên trong một tam giác đều có độ dài cạnh là $5$ sao cho tất cả các tam giác đều rời rạc. Chứng minh rằng bạn có thể vẽ các tam giác lớn $100$ với mỗi đỉnh bên trong hoặc trên một tam giác đều với cạnh $3$, sao cho chúng bao phủ tam giác đều, và hai tam giác lớn bất kỳ (1) là rời rạc, hoặc (2) có như giao điểm là một đỉnh chung, hoặc (3) có một giao điểm chung.
$S$ là một tập hợp các điểm $1976$ tạo thành $1976$-GON thông thường. $T$ là tập hợp tất cả các điểm là trung điểm của ít nhất một cặp điểm trong $S$. Số điểm lớn nhất của $T$ nằm trên một vòng tròn là bao nhiêu?
50 chiếc đồng hồ, tất cả đều giữ thời gian hoàn hảo, nằm trên bàn. Chứng minh rằng có một thời điểm khi tổng các khoảng cách từ tâm của bảng đến tâm của mỗi mặt số bằng tổng các khoảng cách từ tâm của bàn đến đầu của mỗi kim phút.