Câu hỏi 8
$S$ là hình cầu có bán kính đơn vị. $P$ là một mặt phẳng đi qua tâm. Đối với bất kỳ điểm nào $x$ trên quả cầu, $f(x)$ là khoảng cách vuông góc từ $x$ đến $P$. Chứng minh rằng nếu $x$, $y$, $z$ là đầu của ba bán kính vuông góc lẫn nhau, thì $f(x)^2 + f(y)^2 + f(z)^2 = 1$ (*). Bây giờ hãy để $g(x)$ là bất kỳ chức năng nào trên các điểm của $S$ lấy các giá trị thực không âm và thỏa mãn (*). Coi giao điểm của $P$ và $S$ là đường xích đạo, các cực là các điểm với $f(x) = 1$ và các đường kinh độ là hình bán nguyệt qua cả hai cực. (1) Nếu $x$ và $y$ có cùng kinh độ và cả hai đều nằm cùng phía của đường xích đạo với $x$ gần cực hơn, cho thấy rằng $g(x) \gt g(y)$. (2) Cho thấy rằng đối với bất kỳ $x$ nào, $y$ ở cùng phía của đường xích đạo với $x$ gần cực hơn $y$ chúng ta có $g(x) \gt g(y)$. (3) Chứng minh rằng nếu $x$ và $y$ là cùng một khoảng cách từ cực thì $g(x) = g(y)$. (4) Hiển thị rằng $g(x) = f(x)$ cho tất cả $x$.