Cho $$
f(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdots + a_{n} x^{n}
$$ là một đa thức với các hệ số thỏa mãn các điều kiện: $$
0 \leq a_{i} \leq a_{0}, \quad i = 1, 2, \ldots, n
$$ Gọi $b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{2n}$ là hệ số của đa thức $$
\begin{aligned}
(f(x))^{2} &= \left(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdots + a_{n} x^{n}\right)^{2} \\
&= b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \cdots + b_{n+1} x^{n+1} + \cdots + b_{2n} x^{2n}
\end{aligned}
$$ chứng minh rằng $$
b_{n+1} \leq \frac{1}{2} (f(1))^{2}
$$
Cho $ABCD$ là hình chữ nhật với $BC = 3 AB$. Chỉ ra rằng nếu $P, Q$ là điểm bên $BC$ với $BP = PQ = QC$, thì $$
\angle DBC + \angle DPC = \angle DQC.
$$
Cho một vòng tròn có đường kính $AB$ và một điểm $X$ trên vòng tròn khác với $A$ và $B$, hãy để $t_{a}$, $t_{b}$ và $t_{x}$ lần lượt là tiếp tuyến của vòng tròn tại $A$, $B$ và $X$. Cho $Z$ là điểm mà dòng $AX$ gặp $t_{b}$ và $Y$ là điểm mà dòng $BX$ gặp nhau $t_{a}$. Chứng minh rằng ba đường $YZ$, $t_{x}$ và $AB$ là đồng quy (tức là tất cả đều đi qua cùng một điểm) hoặc song song.
Một tuyến xe buýt bao gồm một đường tròn có chu vi $10$ và một con đường thẳng có chiều dài $1$ dặm chạy từ ga cuối đến điểm $Q$ trên đường tròn (xem sơ đồ). Nó được phục vụ bởi hai xe buýt, mỗi xe yêu cầu $20$ phút cho chuyến đi khứ hồi. Xe buýt số $1$, khi rời ga cuối, đi dọc theo con đường thẳng, một lần quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ và quay trở lại theo con đường thẳng đến ga cuối. Xe buýt số $2$, đến ga cuối $10$ phút sau xe buýt số $1$, có một tuyến đường tương tự ngoại trừ việc nó đi ngược chiều kim đồng hồ ga quanh vòng tròn. Cả hai xe buýt đều chạy liên tục và không chờ bất cứ lúc nào trên tuyến trừ một khoảng thời gian không đáng kể để đón và cho hành khách xuất viện. Một người đàn ông có kế hoạch đợi tại một điểm $P$ là $x$ dặm $(0 \leq x \lt 12)$ từ ga cuối dọc theo tuyến xe buýt số $1$ và đi đến ga cuối trên một trong những xe buýt. Giả sử rằng anh ta chọn lên chiếc xe buýt đó sẽ đưa anh ta đến đích vào thời điểm sớm nhất, thì có thời gian tối đa là $w(x)$ mà hành trình của anh ta (chờ đợi cộng với thời gian di chuyển) có thể mất. tìm $w(2)$; Tìm $w(4)$. Đối với giá trị nào của $x$ thì thời gian $w(x)$ sẽ dài nhất? Phác thảo một đồ thị của $y = w(x)$ cho $0 \leq x \lt 12$.
Cho $n$ là một số nguyên dương cố định. Đối với bất kỳ sự lựa chọn nào của số thực $n$ thỏa mãn $$
0 \leq x_{i} \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, n
$$ ở đó tương ứng với tổng (*) $$
\begin{aligned}
& \sum_{1 \leq i\lt j \leq n}\left|x_{i}-x_{j}\right| \\
& \qquad \begin{aligned}
= & \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|x_{1}-x_{3}\right|+\left|x_{1}-x_{4}\right|+\cdots+\left|x_{1}-x_{n-1}\right|+\left|x_{1}-x_{n}\right| \\
& \quad+\left|x_{2}-x_{3}\right|+\left|x_{2}-x_{4}\right|+\cdots+\left|x_{2}-x_{n-1}\right|+\left|x_{2}-x_{n}\right| \\
& \quad+\left|x_{3}-x_{4}\right|+\cdots+\left|x_{3}-x_{n-1}\right|+\left|x_{3}-x_{n}\right| \\
& \quad+\cdots+\left|x_{n-2}-x_{n-1}\right|+\left|x_{n-2}-x_{n}\right| \\
& \quad+\left|x_{n-1}-x_{n}\right| .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$ Gọi $S(n)$ biểu thị giá trị lớn nhất có thể của tổng (*). Tìm $S(n)$.
Một bộ sưu tập thẻ $n$ được đánh số từ $1$ đến $n$. Mỗi thẻ có $1$ hoặc $-1$ ở mặt sau. Bạn được phép yêu cầu tích của các số ở mặt sau của ba thẻ bất kỳ. Số lượng câu hỏi nhỏ nhất sẽ cho phép bạn xác định số trên mặt sau của tất cả các thẻ nếu $n$ là (1) $30$, (2) $31$, (3) $32$? Nếu thẻ $50$ được sắp xếp theo hình tròn và bạn chỉ được phép hỏi tích số trên mặt sau của ba thẻ liền kề thì cần bao nhiêu câu hỏi để xác định tích của số trên mặt sau của tất cả các thẻ $50$?
Tam giác $ABC$ có diện tích $1$. $D$, $E$, $F$ là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. $P$ nằm trong đoạn thẳng $BF$, $Q$ nằm trong đoạn thẳng $CD$, $R$ nằm trong đoạn thẳng $AE$. Diện tích nhỏ nhất có thể cho giao điểm của tam giác $DEF$ và $PQR$ là bao nhiêu?
Trong tam giác $ABC$, $\angle C = 90^\circ$ và $AC = BC$. Lấy điểm $D$ trên $CA$ và $E$ trên $CB$ sao cho $CD = CE$. Để các đường vuông góc từ $D$ và $C$ đến $AE$ gặp $AB$ tại $K$ và $L$ tương ứng. Chứng minh rằng $KL = LB$.
Các điểm $n$ của đồ thị có màu đỏ hoặc xanh lam. Tại mỗi bước di chuyển, chúng tôi chọn một điểm khác nhau về màu sắc từ hơn một nửa số điểm mà nó được nối và chúng tôi thay đổi màu của nó. Chứng minh rằng quá trình này phải kết thúc sau một số lần di chuyển hữu hạn.
Tìm tất cả các số thập phân có ba chữ số $a_1a_2a_3$ bằng giá trị trung bình của sáu số $a_1a_2a_3$, $a_1a_3a_2$, $a_2a_1a_3$, $a_2a_3a_1$, $a_3a_1a_2$, $a_3a_2a_1$.
$f$ là một hàm trên khoảng đóng $[0, 1]$ với các giá trị thực không âm. $f(1) = 1$ và $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ cho tất cả $x, y$. Chứng minh rằng $f(x) \leq 2x$ cho tất cả $x$. Có nhất thiết phải đúng là $f(x) \leq 1.9x$ cho tất cả $x$?
Không có tam giác diện tích $1$ nào có thể được lắp vào bên trong đa giác lồi. Chứng minh rằng đa giác có thể được lắp vào bên trong một tam giác diện tích $4$.
Cho các vectơ đơn vị $n$ trong mặt phẳng có tổng có độ dài nhỏ hơn một. Chứng minh rằng bạn có thể sắp xếp chúng sao cho tổng $k$ đầu tiên có độ dài nhỏ hơn $2$ cho mỗi $1 \lt k \lt n$.
Mỗi cạnh của một hình lục giác lồi dài hơn $1$. Có phải luôn có một đường chéo dài hơn $2$ không? Nếu mỗi đường chéo chính của một hình lục giác dài hơn $2$ thì luôn có một mặt nào dài hơn $1$?
Bán kính vòng tròn $r$ và $R$ chạm bên ngoài. $AD$ song song với $BC$. $AB$ và $CD$ chạm vào cả hai vòng tròn. $AD$ chạm vào bán kính vòng tròn $r$, nhưng không phải bán kính vòng tròn $R$ và $BC$ chạm vào bán kính vòng tròn $R$, nhưng không phải bán kính vòng tròn $r$. Chiều dài nhỏ nhất có thể cho $AB$ là bao nhiêu?
Một con chuột và hai con mèo được đặt trên bàn cờ. Chuột được đặt đầu tiên và sau đó hai con mèo chọn vị trí trên các ô vuông biên giới. Chuột di chuyển trước. Sau đó, mèo và chuột di chuyển luân phiên. Chuột có thể di chuyển một hình vuông đến một hình vuông liền kề (nhưng không phải theo đường chéo). Nếu nó nằm trên một hình vuông biên giới, thì nó cũng có thể di chuyển ra khỏi bảng. Khi mèo di chuyển, cả hai con mèo di chuyển một hình vuông. Mỗi người phải di chuyển đến một hình vuông liền kề, và không phải chéo. Những con mèo giành chiến thắng nếu một trong số chúng di chuyển lên cùng một hình vuông với con chuột. Chuột thắng nếu nó di chuyển ra khỏi bảng. Ai thắng? Giả sử có ba con mèo (và cả ba con mèo di chuyển khi đến lượt mèo), nhưng con chuột được thêm một lượt ban đầu. Chứng minh rằng con chuột thắng.
$ABCD$ là hình vuông. $P$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ và $Q$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $BP = BQ$. $H$ nằm trên $PC$ sao cho $BHC$ là một góc vuông. Chứng tỏ $DHQ$ là góc vuông.
Sắp xếp các số $1, 2, \ldots, 32$ theo một dãy sao cho trung bình cộng của hai số không nằm giữa chúng. (Ví dụ, $\ldots, 3, 4, 5, 2, 1, \ldots$ không hợp lệ, vì $2$ nằm giữa $1$ và $3$.) Bạn có thể sắp xếp các số $1, 2, \ldots, 100$ trong Cùng một cách?
quanh vòng tròn. Cả hai xe buýt đều chạy liên tục và không chờ bất cứ lúc nào trên tuyến trừ một khoảng thời gian không đáng kể để đón và cho hành khách xuất viện. Một người đàn ông có kế hoạch đợi tại một điểm $P$ là $x$ dặm $(0 \leq x \lt 12)$ từ ga cuối dọc theo tuyến xe buýt số $1$ và đi đến ga cuối trên một trong những xe buýt. Giả sử rằng anh ta chọn lên chiếc xe buýt đó sẽ đưa anh ta đến đích vào thời điểm sớm nhất, thì có thời gian tối đa là $w(x)$ mà hành trình của anh ta (chờ đợi cộng với thời gian di chuyển) có thể mất. tìm $w(2)$; Tìm $w(4)$. Đối với giá trị nào của $x$ thì thời gian $w(x)$ sẽ dài nhất? Phác thảo một đồ thị của $y = w(x)$ cho $0 \leq x \lt 12$.