Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau:
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{\sqrt{2}} \leq z \lt \frac{1}{2} \min \{x\sqrt{2},\ y\sqrt{3}\}, \\
x + z\sqrt{3} \geq \sqrt{6}, \\
y\sqrt{3} + z\sqrt{10} \geq 2\sqrt{5}.
\end{gathered}
$$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$
P(x, y, z) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{y^2} + \frac{3}{z^2}
$$
Hãy xem xét hàm $g(x) = \frac{2x}{1+x^2}$. Tìm tất cả hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(-1; 1)$ thỏa mãn điều kiện:
$$
(1 - x^2)f(g(x)) = (1 + x^2)^2 f(x)
$$
cho mọi $x \in (-1; 1)$.
Cho một số nguyên $n \ge 1$. Hãy xem xét hoán vị $(a_1, a_2, ..., a_{2n})$ của các số nguyên dương $2n$ đầu tiên sao cho các số $|a_{i+1} - a_i|$ $(i = 1, 2, ..., 2n-1)$ khác biệt với các số khác.
Chứng minh rằng $a_1 - a_{2n} = n$ khi và chỉ nếu $1 \le a_{2k} \le n$ với mọi $k = 1, 2, ..., n$.
Các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn điều kiện:
$$
21ab + 2bc + 8ca \le 12.
$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P(a, b, c) = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}.
$$
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cắt nhau tại $A$ và $B$ và $PQ$ là tiếp tuyến chung ($P$ và $Q$ là các điểm tiếp xúc). Gọi $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến tại $P$ và tại $Q$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ và gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trong đường thẳng $PQ$. Chứng minh các điểm $A$, $S$, $H$ thẳng hàng.
Một câu lạc bộ có người tham gia $42$. Trong mỗi nhóm $31$ tham gia câu lạc bộ này luôn có một cặp đôi nam - nữ quen nhau. Chứng minh rằng trong câu lạc bộ này có thể chọn ra những cặp đôi làm quen $12$.
Cho một số nguyên $n \gt 1$ và một hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$ trong không gian. Đặt $T$ là tập hợp tất cả các điểm $P(x, y, z)$, tọa độ $x, y, z$ là các số nguyên thỏa mãn điều kiện $1 \le x, y, z \le n$. Tô màu một số điểm trong $T$ sao cho nếu điểm $A(x_0, y_0, z_0)$ đã được tô màu thì mọi điểm $B(x_1, y_1, z_1)$ với $x_1 \le x_0, y_1 \le y_0, z_1 \le z_0$ ($B \ne A$) không thể tô màu được. Có thể tô màu tối đa bao nhiêu điểm?
Cho một số nguyên dương $n$ và hai số nguyên nguyên tố cùng nhau $a, b$ lớn hơn $1$. Giả sử $p, q$ là hai ước số lẻ lớn hơn $1$ của $a^{6n} + b^{6n}$. Tìm phần dư của phép chia $p^{6n} + q^{6n}$ cho $6 \cdot (12)^n$.
Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$ thỏa mãn điều kiện
$$
0 \lt a_{n+1} - a_n \le 2001
$$
cho mọi $n = 1, 2, 3, \ldots$. Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(p, q)$ sao cho $p \lt q$ và $a_p$ là ước của $a_q$.
Với mỗi cặp số thực $(a, b)$, hãy xét dãy số $\{x_n\}$, $n = 0, 1, 2, \dots$, được xác định bởi:
$$
x_0 = a \quad \text{Và} \quad x_{n+1} = x_n + b \sin x_n \quad \text{cho mọi} n = 0, 1, 2, \dots
$$
Chứng minh rằng:
1) với mọi số thực $a$, dãy $\{x_n\}$ tương ứng với $(a, b)$ có giới hạn hữu hạn khi $n$ tiến tới vô cùng. Tìm giới hạn này.
2) với mọi số $b \gt 2$, tồn tại một số thực $a$ sao cho dãy $\{x_n\}$ tương ứng với $(a, b)$ không có giới hạn hữu hạn khi $n$ tiến tới vô cùng.
Dãy số nguyên $\{a_n\}$, $n = 0, 1, 2, \ldots$ được xác định bởi:
$a_0 = 1$ và $a_n = a_{n-1} + a_{\lceil n/3 \rceil}$ cho mọi $n = 1, 2, 3, \ldots$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p \le 13$ đều tồn tại vô số số tự nhiên $k$ sao cho $a_k$ chia hết cho $p$.
([x] biểu thị phần nguyên của x).