MathNet 2006 — Phần 02

Có một số số nguyên dương nhỏ hơn $10^6$ sao cho tích của mỗi cặp hai số khác nhau không chia hết cho $2006$. Số lớn nhất của số bạn có thể có là gì?

Trên Đảo Babba, họ sử dụng bảng chữ cái gồm hai chữ cái, $a$ và $b$, và mỗi chuỗi (hữu hạn) các chữ cái là một từ. Đối với mỗi bộ $P$ gồm sáu từ, mỗi từ có 4 chữ cái, chúng tôi biểu thị $N_P$ là tập hợp tất cả các từ không chứa bất kỳ từ nào của $P$ dưới dạng một âm tiết (từ phụ).
Chứng minh rằng nếu $N_P$ là hữu hạn thì tất cả các từ của nó có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 10, và tìm một tập $P$ sao cho $N_P$ là hữu hạn và chứa ít nhất một từ có độ dài 10.

Cho $a \gt b \gt c \gt d$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$
a + b + c + d = 502 \text{ và } a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 502.
$$
Tính xem có bao nhiêu giá trị có thể có của $a$.

Đường tròn $\Gamma$ tiếp tuyến với các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đặt $X$ là giao điểm của $BF$ và $EC$ và đặt $H$ là giao điểm của $\Gamma$ với $AX$. Đặt $Z$ và $T$ lần lượt là giao điểm của $EH$ và $FH$ với $BC$. Các đường thẳng $ET$ và $FZ$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng điểm $Q$ nằm trên đường thẳng $AX$.

Chúng tôi biểu thị $29!$ là tích của 29 entero dương kể từ 1 đến 29, và điều đó có nghĩa là,
$$29! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24 \cdot 25 \cdot 26 \cdot 27 \cdot 28 \cdot 29.$$
Kiểm tra các chữ số $a$, $b$, $c$, $d$
$$29! = 884176199ab3970195454361cd00000.$$

Xác định xem số $2004$ có thể được viết dưới dạng tổng bình phương của hai số nguyên dương hay không. Và $2004$?

Trên một bảng có lưới gồm các hàng $10$ theo cột $500$, bắt đầu từ hình vuông phía dưới bên trái và theo mô hình gợi ý trong hình, Joaquín đã sơn các ô vuông $2006$ màu đen.

Sau đó, Agustina sơn các hình vuông có hai hoặc nhiều hình vuông màu đen lân cận thành màu xanh lam. Agustina đã vẽ bao nhiêu hình vuông?

Lưu ý: Hai hình vuông là cạnh nhau nếu chúng có một cạnh chung.

Cho $a$ là một số thực sao cho $\frac{1}{a} = a - [a]$. Chứng minh $a$ là vô tỉ.

Chúng ta xét tất cả các dãy vô hạn $(x_n)_{n \ge 1}$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn phép truy hồi
$$
x_{n+2} = \text{mcd}(x_{n+1}, x_n) + 2006,
$$
cho tất cả $n = 1, 2, \dots$. Ở đây $\text{mcd}(u, v)$ biểu thị ước chung lớn nhất của $u$ và $v$.
Có thể xảy ra trường hợp một chuỗi thuộc loại này chứa chính xác các số khác nhau $10^{2006}$ không?

Xổ số Binarilandia rút ra 100 chữ số 0 và 1 (có thể bắt đầu bằng 0). Một số sẽ được trao nếu nó khớp với ít nhất 51 vị trí với số được rút. Xác định số lượng số nhỏ nhất cần chơi để đảm bảo rằng ít nhất một trong số chúng sẽ được thưởng.

Trong một tam giác $ABC$, gọi $H$ là giao điểm các đường cao của nó. Được biết, số đo góc $\angle BAC$ là $60^\circ$. Nếu $J$ thuộc phía $AC$ được lấy sao cho $AJ$ gấp đôi $JC$ thì nó giữ $JH = JC$ đó.
Cho vị trí của $A$ và $H$, hãy dựng tam giác $ABC$ bằng thước và compa.

Một hãng hàng không có 9 chiếc máy bay với nhiều kiểu dáng khác nhau và 13 phi công. Việc đào tạo mỗi phi công lái mỗi chiếc máy bay có chi phí 1000 đô la. Mỗi ngày có 9 phi công được chọn để lái máy bay và 4 người còn lại được nghỉ.

Tìm số tiền tối thiểu cần đầu tư vào việc đào tạo phi công để đảm bảo rằng tất cả các máy bay đều bay mỗi ngày, bất kể số lượng phi công được rút ra. (Mỗi ngày, mỗi phi công chỉ lái một chiếc máy bay.)

Trong tứ giác lồi $ABCD$, gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$. Các đoạn $CE$ và $DF$ được cắt tại $O$. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng $AO$ và $BO$ chia cạnh $CD$ thành ba phần bằng nhau thì $ABCD$ là hình bình hành.

Carlitos đã viết tất cả các tập hợp con của $\{1, 2, \ldots, 2006\}$ trong đó hiệu giữa số chẵn và số lẻ là bội số của $3$.
Carlitos đã viết bao nhiêu tập hợp con?

Các số $1$, $2$, $3$, ..., $n^2$ được đặt trong các ô của lưới $n \times n$, theo thứ tự nào đó, mỗi số một ô. Quân ban đầu được tìm thấy trong không gian có số $n^2$. Ở mỗi bước, quân cờ có thể tiến tới bất kỳ ô vuông nào có cùng cạnh với ô vuông đó. Đầu tiên, quân di chuyển đến hình vuông có số $1$ và để làm như vậy, nó cần một trong những đường đi ngắn nhất (với ít bước hơn) giữa hình vuông có số $n^2$ và hình vuông có số $1$. Từ hình vuông có số $1$, nó di chuyển đến hình vuông có số $2$, từ đó đến hình vuông có số $3$, v.v., cho đến khi nó quay trở lại hình vuông ban đầu, đi theo con đường ngắn nhất trong mỗi chuyến đi của nó. Đường dẫn đầy đủ thực hiện các bước trong tab $N$. Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể có của $N$.

Cho $n \gt 1$ là số nguyên lẻ. Giả sử $P_0$ và $P_1$ là hai đỉnh liên tiếp của một đa giác đều có cạnh $n$. Đối với mỗi $k \ge 2$, $P_{k}$ được định nghĩa là đỉnh của đa giác đã cho nằm trên phân giác của $P_{k-1}$ và $P_{k-2}$. Xác định giá trị nào của $n$ mà dãy $P_0, P_1, P_2, \dots$ chạy qua tất cả các đỉnh của đa giác.

Cho $ABC$ là tam giác vuông và cân, với $AB = AC$. Chúng ta xét các điểm $M$ và $N$ trong $AB$ sao cho $AM = BN$. Đường vuông góc với $CM$ cắt $BC$ tại $P$ được vẽ từ $A$. Nếu là $\angle APC = 62^\circ$ thì tính số đo góc $BNP$.

Mauro đã viết danh sách các số có chữ số $12$ với mỗi chữ số bằng $0$ hoặc $1$ sao cho tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng tổng các chữ số ở vị trí lẻ. Xác định có bao nhiêu số trong danh sách của Mauro.

LÀM RÕ: Tất cả các số trong danh sách đều có chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$.

Một số phân đoạn đã được chọn trên một dòng (có thể có sự chồng chéo). Nếu 2/3 bên trái của mỗi đoạn có màu xanh lam thì tập hợp các điểm màu xanh lam là đoạn có độ dài $31$. Nếu 2/3 bên phải của mỗi đoạn có màu đỏ thì tập hợp các điểm màu đỏ là đoạn có độ dài $23$. Đặt $M$ và $m$ lần lượt là độ dài tối đa và tối thiểu của một phân đoạn của bộ sưu tập.
Giá trị tối thiểu mà $M - m$ có thể có là bao nhiêu?

Ông José có bốn đứa cháu, ở mọi lứa tuổi khác nhau. Chênh lệch tuổi tác giữa cháu lớn nhất và cháu út là $6$ năm và chênh lệch tuổi tác giữa hai cháu còn lại là $1$ năm. Một trong bốn đứa cháu là $12$ tuổi. Được biết, bằng cách thực hiện hai đường cắt song song ở hai bên như trong hình, ông José có thể chia một thanh sôcôla hình chữ nhật thành 4 phần có diện tích trùng với tuổi của 4 đứa cháu.
Cháu của ông José bao nhiêu tuổi?