MathNet 2014

Tìm tất cả các số nguyên tố đôi một phân biệt $p,q,r$ sao cho
$$3p^4-5q^4-4r^2=26.$$

Các điểm $A,M,N,B$ thẳng hàng theo thứ tự đó, với $AM=4$, $MN=2$, $NB=3$. Điểm $C$ không nằm trên đường thẳng chứa bốn điểm này và $AC=6$. Chứng minh $CN$ là phân giác của $\angle BCM$.

Rút gọn biểu thức
$$\left(1+\frac1i+\frac1{i^2}+\ldots+\frac1{i^{2014}}\right)^2.$$

Jeck và Lisa chơi trên bàn cờ $m\times n$, với $m,n\gt 2$. Lisa bắt đầu bằng cách đặt một quân mã lên bàn. Sau đó Jeck và Lisa lần lượt đặt quân mới theo các quy tắc:

1\. Jeck đặt một quân hậu vào ô trống cách quân mã vừa đặt của Lisa hai ô theo chiều ngang và một ô theo chiều dọc, hoặc một ô theo chiều ngang và hai ô theo chiều dọc.

2\. Lisa đặt một quân mã vào ô trống cùng hàng, cùng cột hoặc cùng đường chéo với quân hậu vừa đặt của Jeck.

Người không thể đặt quân lên bàn sẽ thua. Với những cặp $(m,n)$ nào Lisa có chiến lược thắng?

Cho $f(x)=a^x-1$. Tìm giá trị lớn nhất của $a\gt 1$ sao cho nếu $0\le x\le3$ thì $0\le f(x)\le3$.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của
$$(\sin\theta_1)(\cos\theta_2)+(\sin\theta_2)(\cos\theta_3)+\cdots+(\sin\theta_{2013})(\cos\theta_{2014})+(\sin\theta_{2014})(\cos\theta_1).$$

Trong tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và đi qua $B$. Đường tròn này cắt lại $AB$ tại $P$ và cắt lại $BC$ tại $Q$. Đường thẳng $QI$ cắt $AC$ tại $R$. Chứng minh $|AR|\cdot|BQ|=|PI|^2$.

Tích hai nghiệm của $\sqrt{2014}\,x^{\log_{2014}x}=x^{2014}$ là một số nguyên. Tìm chữ số hàng đơn vị của số nguyên đó.

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$ và $a,b,c\gt 1$. Chứng minh
$$\frac1{a-1}+\frac1{b-1}+\frac1{c-1}\ge8\left(\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}\right).$$

Bản tiếng Macedonia trong nguồn, dịch đầy đủ:

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$ và $a,b,c\gt 1$. Chứng minh
$$\frac1{a-1}+\frac1{b-1}+\frac1{c-1}\ge8\left(\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}\right).$$

Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn $k$, tiếp xúc tại $G,H$. Nếu $O$ là tâm của $k$ và $K$ là trực tâm tam giác $MGH$, chứng minh $\angle GMH=\angle OGK$.

Bản tiếng Macedonia trong nguồn, dịch đầy đủ:

Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn $k$, tiếp xúc tại $G,H$. Nếu $O$ là tâm của $k$ và $K$ là trực tâm tam giác $MGH$, chứng minh $\angle GMH=\angle OGK$.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):

Trong trò chơi tìm từ, người chơi tìm một từ trong bảng chữ cái $12\times12$ bằng cách xét các khối chữ cái kề nhau theo hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo. Có bao nhiêu khối gồm 3 chữ cái như vậy trong một bảng $12\times12$ cho trước?

Chứng minh
$$\frac1{1\cdot2013}+\frac1{2\cdot2012}+\frac1{3\cdot2011}+\dots+\frac1{2012\cdot2}+\frac1{2013\cdot1}\lt 1.$$

Bản tiếng Macedonia trong nguồn, dịch đầy đủ:

Chứng minh
$$\frac1{1\cdot2013}+\frac1{2\cdot2012}+\frac1{3\cdot2011}+\dots+\frac1{2012\cdot2}+\frac1{2013\cdot1}\lt 1.$$

Chứng minh có vô số số nguyên dương không biểu diễn được dưới dạng $a^{d(a)}+b^{d(b)}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương. Với số nguyên dương $a$, ký hiệu $d(a)$ là số ước dương của $a$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là điểm nằm trong cạnh $AB$. Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $CD$. Giả sử $|AD|=|DE|$. Chứng minh $|AB|=|CE|$.

Tìm giá trị lớn nhất của
$$(1-x)(2-y)(3-z)\left(x+\frac y2+\frac z3\right)$$
với $x\lt 1$, $y\lt 2$, $z\lt 3$ và $x+\frac y2+\frac z3\gt 0$.

Số nguyên dương nhỏ thứ tư có đúng $4$ ước nguyên dương, kể cả $1$ và chính nó, là số nào?

Hai số $p$ và $q$ được chọn ngẫu nhiên (độc lập với nhau) từ đoạn $[-2,2]$. Tìm xác suất để $4x^2+4px+1-q^2=0$ có nghiệm không thực.

Một trò chơi diễn ra trên bàn cờ $n\times n$. Ban đầu mỗi ô có $99$ viên đá. Hai người $A,B$ luân phiên đi; mỗi lượt chọn một hàng hoặc cột rồi lấy đi một viên đá ở mỗi ô của hàng hoặc cột đã chọn. Chỉ được chọn hàng hoặc cột nếu mỗi ô trong đó có ít nhất một viên đá. Người đầu tiên không thể đi thua cuộc. $A$ đi trước. Tìm tất cả $n$ để $A$ có chiến lược thắng.

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $n$ để $\frac{6n^3-n^2+2n+32}{3n+1}$ là số nguyên.

Tìm tất cả $n\in\mathbb N$ chia hết cho $11$ sao cho mọi số thu được bằng cách hoán vị tùy ý các chữ số của $n$ vẫn chia hết cho $11$.

Bản tiếng Macedonia trong nguồn, dịch đầy đủ:

Tìm tất cả $n\in\mathbb N$ chia hết cho $11$ sao cho mọi số thu được bằng cách hoán vị tùy ý các chữ số của $n$ vẫn chia hết cho $11$.