Các mặt của hai tứ diện đều giống hệt nhau được tô bằng các màu đỏ, trắng, xanh lá và xanh lam. Màu được chọn ngẫu nhiên, nhưng bốn mặt của mỗi tứ diện phải có màu khác nhau. Xác suất để sau khi tô, hai tứ diện không thể phân biệt được là bao nhiêu?
(A) $\frac1{4!}$
(B) $\frac2{4!}$
(C) $\frac14$
(D) $\frac12$
(E) 1
Cho $n$ là số tự nhiên. Hoán vị $a_1,a_2,\dots,a_n$ của các số $1,2,\dots,n$ được gọi là hoán vị chính phương (lập phương) nếu với mỗi số tự nhiên $1\leq i\leq n-1$, số $a_i a_{i+1}+1$ là số chính phương (lập phương).
a) Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại ít nhất một hoán vị chính phương của $1,2,\dots,n$.
b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên $n$ nào mà tồn tại hoán vị lập phương của $1,2,\dots,n$.
Trên bảng vẽ một số đoạn thẳng (ít nhất hai đoạn). Chọn hai đoạn có độ dài $a,b$, xóa chúng và vẽ một đoạn dài $\frac{ab}{a+b}$. Tiếp tục đến khi chỉ còn một đoạn trên bảng. Chứng minh:
a) Độ dài đoạn cuối cùng không phụ thuộc thứ tự xóa.
b) Với mọi số nguyên dương $n$, có thể chọn các đoạn ban đầu có độ dài nguyên đôi một khác nhau sao cho đoạn cuối dài $n$.
Ta nói hàm $f$ sinh hàm $g$ (ký hiệu $f\to g$) nếu $g$ viết được thành hợp của $f$ với chính nó một số lần; tức là tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $f\circ f\circ\cdots\circ f=g$ ($k$ lần).
Ta muốn khảo sát một số tính chất của quan hệ này. Chẳng hạn, dễ chứng minh rằng nếu $f\to g$ và $g\to h$ thì $f\to h$ (tính bắc cầu).
a) Chỉ ra rằng tồn tại hai hàm $f\ne g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f\to g$ và $g\to f$.
b) Chứng minh rằng với mỗi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$, chỉ có hữu hạn hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f\to g$ và $g\to f$.
c) Có tồn tại hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ mà hàm duy nhất sinh ra nó là chính nó không?
d) Có tồn tại hàm sinh ra cả hai hàm $x^3$ và $x^5$ không?
e) Chứng minh rằng nếu có một hàm sinh ra hai đa thức bậc nhất $P,Q$ thì có một đa thức bậc nhất sinh ra cả $P,Q$.
Hai đường chéo của tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp một đường tròn cắt nhau tại $E$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc với cạnh $AD$ cắt cạnh $BC$ tại $N$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc với cạnh $BC$ cắt cạnh $AD$ tại $M$. Chứng minh rằng nếu $2MN=AB+CD$ thì $ABCD$ là hình thang.
Một quân mã được đặt ở một ô góc của bàn cờ $3\times3$. Một nước đi đưa quân mã tới ô có thể đến được bằng hai bước ngang rồi một bước dọc, hoặc hai bước dọc rồi một bước ngang. Có bao nhiêu cách đưa quân mã đến ô góc đối diện sau đúng 12 nước đi?
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $ABCD$. Các điểm $P,Q,R,S$ lần lượt nằm trên các đoạn $OA,OB,OC,OD$ và thỏa mãn $OP=3$, $OQ=5$, $OR=4$. Ở đây độ dài đoạn $XY$ cũng được ký hiệu là $XY$. Nếu giao điểm của $AB$ và $PQ$, giao điểm của $BC$ và $QR$, cùng giao điểm của $CD$ và $RS$ thẳng hàng, thì $OS$ bằng bao nhiêu?
Cho $m$ là số nguyên dương có $1000$ chữ số và tất cả các chữ số đều khác không. Với số nguyên dương $n$, xét $\left\lfloor\frac mn\right\rfloor$, trong đó với mọi số thực $r$, $\lfloor r\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$. Xác định số chữ số $0$ lớn nhất có thể có trong $\left\lfloor\frac mn\right\rfloor$, với $1\le n\le m$.
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ sao cho với mọi số thực dương $x,y$,
$$f\left(\frac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\frac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y).$$
Một bàn cờ vuông $(2n+1)\times(2n+1)$, với $n\gt 0$, được tô sao cho mỗi ô có màu trắng hoặc đen. Một ô được gọi là đặc biệt nếu trong hàng của nó có ít nhất $n$ ô khác cùng màu và trong cột của nó cũng có ít nhất $n$ ô khác cùng màu.
a. Chứng minh có ít nhất $2n+1$ ô đặc biệt.
b. Cho một ví dụ có không quá $4n$ ô đặc biệt.
c. Xác định theo $n$ số ô đặc biệt nhỏ nhất có thể có.
Cho $D$ là điểm di động trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Các tâm nội tiếp của tam giác $ABC,ABD,ACD$ lần lượt là $I,I_1,I_2$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAI_1,IAI_2$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng khi $D$ di động trên cạnh $BC$, đường thẳng $MN$ đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $BC$ của $\omega$ không chứa đỉnh $A$. Các đường thẳng đi qua $O$ lần lượt song song với $MB$ và $MC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ tại $K$ và $L$. Nếu đường vuông góc kẻ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$ cắt $\omega$ tại $N$, hãy chứng minh rằng $NK = NL$.
Trong mỗi ô đơn vị của bảng $n \times m$ có viết một số nguyên. Một **đường chéo** gồm những ô mà hiệu giữa chỉ số cột và chỉ số hàng là một hằng số. Ta muốn đưa tất cả các số trong bảng về $0$ sau hữu hạn bước. Trong mỗi bước, ta được chọn một hàng, một cột hoặc một đường chéo rồi cộng $1$ hoặc $-1$ vào số trong mỗi ô của nó. Chứng minh rằng nếu có thể đưa mọi số trong từng bảng con $3 \times 3$ về $0$ mà không thay đổi phần còn lại của bảng, thì có thể đưa tất cả các số trong bảng về $0$.
Ví dụ, trong bảng $5 \times 9$ dưới đây có đánh dấu các ô thuộc một đường chéo và các ô thuộc một bảng con $3 \times 3$. Chú ý rằng ô trên cùng bên phải (hàng $1$, cột $9$) cũng được xem là một đường chéo.
Các số $a,b,c$ là số nguyên và $a\lt b\lt c$. Một số nguyên $n$ được gọi là “quadratical” nếu $a^2+b^2-c^2=n$. Tìm số lượng các số quadratical không nhỏ hơn 1 và không lớn hơn 2014.
