MathNet 2014 Câu hỏi 15

Trong mỗi ô đơn vị của bảng $n \times m$ có viết một số nguyên. Một **đường chéo** gồm những ô mà hiệu giữa chỉ số cột và chỉ số hàng là một hằng số. Ta muốn đưa tất cả các số trong bảng về $0$ sau hữu hạn bước. Trong mỗi bước, ta được chọn một hàng, một cột hoặc một đường chéo rồi cộng $1$ hoặc $-1$ vào số trong mỗi ô của nó. Chứng minh rằng nếu có thể đưa mọi số trong từng bảng con $3 \times 3$ về $0$ mà không thay đổi phần còn lại của bảng, thì có thể đưa tất cả các số trong bảng về $0$.

Ví dụ, trong bảng $5 \times 9$ dưới đây có đánh dấu các ô thuộc một đường chéo và các ô thuộc một bảng con $3 \times 3$. Chú ý rằng ô trên cùng bên phải (hàng $1$, cột $9$) cũng được xem là một đường chéo.

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | | | | | | ♣ | | | |
| 2 | | ◇ | ◇ | ◇ | | | ♣ | | |
| 3 | | ◇ | ◇ | ◇ | | | | ♣ | |
| 4 | | ◇ | ◇ | ◇ | | | | | ♣ |
| 5 | | | | | | | | | |