Câu hỏi 5
Ta nói hàm $f$ sinh hàm $g$ (ký hiệu $f\to g$) nếu $g$ viết được thành hợp của $f$ với chính nó một số lần; tức là tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $f\circ f\circ\cdots\circ f=g$ ($k$ lần).
Ta muốn khảo sát một số tính chất của quan hệ này. Chẳng hạn, dễ chứng minh rằng nếu $f\to g$ và $g\to h$ thì $f\to h$ (tính bắc cầu).
a) Chỉ ra rằng tồn tại hai hàm $f\ne g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f\to g$ và $g\to f$.
b) Chứng minh rằng với mỗi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$, chỉ có hữu hạn hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f\to g$ và $g\to f$.
c) Có tồn tại hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ mà hàm duy nhất sinh ra nó là chính nó không?
d) Có tồn tại hàm sinh ra cả hai hàm $x^3$ và $x^5$ không?
e) Chứng minh rằng nếu có một hàm sinh ra hai đa thức bậc nhất $P,Q$ thì có một đa thức bậc nhất sinh ra cả $P,Q$.
Ta muốn khảo sát một số tính chất của quan hệ này. Chẳng hạn, dễ chứng minh rằng nếu $f\to g$ và $g\to h$ thì $f\to h$ (tính bắc cầu).
a) Chỉ ra rằng tồn tại hai hàm $f\ne g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f\to g$ và $g\to f$.
b) Chứng minh rằng với mỗi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$, chỉ có hữu hạn hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f\to g$ và $g\to f$.
c) Có tồn tại hàm $g:\mathbb R\to\mathbb R$ mà hàm duy nhất sinh ra nó là chính nó không?
d) Có tồn tại hàm sinh ra cả hai hàm $x^3$ và $x^5$ không?
e) Chứng minh rằng nếu có một hàm sinh ra hai đa thức bậc nhất $P,Q$ thì có một đa thức bậc nhất sinh ra cả $P,Q$.