MathNet 2014

Cho số nguyên dương $n$. Tìm số nguyên nhỏ nhất $k$ có tính chất: với mọi bộ số thực $a_1,\ldots,a_d$ thỏa mãn $a_1+\cdots+a_d=n$ và $0\leq a_i\leq1$, có thể chia các số thành $k$ nhóm (có thể rỗng) sao cho tổng mỗi nhóm không vượt quá 1.

Cho tam giác $ABC$. Dựng ra ngoài tam giác các tam giác đều $ABE$ và $ACF$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABE$ và $K$ là trung điểm $EF$. Xác định các góc của tam giác $KCG$.

Sáu đội tham dự một giải bóng chuyền. Mỗi cặp đội phải thi đấu một trận. Tất cả các trận diễn ra trong năm lượt, mỗi lượt gồm ba trận đồng thời trên các sân số $1,2,3$. Tìm số cách bốc thăm lịch đấu. Một lịch đấu là bảng $5\times3$, trong đó ô $(i,j)$ ghi một cặp đội không có thứ tự nếu hai đội đó gặp nhau ở lượt thứ $i$ trên sân $j$, với $i\in\{1,2,3,4,5\}$, $j\in\{1,2,3\}$. Có thể viết kết quả dưới dạng tích các thừa số nguyên tố thay cho dạng thập phân.

Cho tam giác không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ bán kính $R$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $C$ cắt lại đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc $AC$ tại $C$ ở $D$.

a) Chứng minh $CD\leq R$.

b) Chứng minh khi $C$ di chuyển trên $\Gamma$, đường thẳng $CD$ đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác $ABC$ có $\angle A=40^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Lấy $D\in AC$, $E\in AB$ sao cho $\angle CBD=40^\circ$, $\angle ECB=70^\circ$. Gọi $F=BD\cap CE$. Chứng minh $AF\perp BC$.

Chọn 1008 số nguyên phân biệt từ 1 đến 2014, kể cả hai đầu mút.

a. Chứng minh có ba số $a,b,c$ trong đó sao cho $\gcd(a,b)$ chia $c$ (ước chung lớn nhất là số tự nhiên lớn nhất chia hết cả hai số).

b. Chứng minh có ba số $a,b,c$ trong đó sao cho $\gcd(a,b)$ không chia $c$.

Tìm tất cả các số nguyên $n\geq2$ sao cho tồn tại các số nguyên $x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}$ thỏa mãn: nếu $0\lt i\lt n$, $0\lt j\lt n$, $i\neq j$ và $n$ chia $2i+j$, thì $x_i\lt x_j$.

Gọi “cạnh” là mỗi đoạn dài $1$ chung cho hai ô kề nhau của một bàn cờ $8\times8$. Xét mọi cách cắt bàn cờ thành $32$ mảnh $2\times1$ và gọi $n(e)$ là số cách cắt trong đó cạnh $e$ được cắt. Tìm chữ số tận cùng của tổng các số $n(e)$ trên tất cả các cạnh $e$.

(Michal Rolínek)

Xác định tất cả các cặp số nguyên không âm $(x,y)$ sao cho $x^2+y^2$ chia cả $x^3+y$ và $x+y^3$.

Tìm số dãy số nguyên $(u_n)_{n\geq1}$ sao cho $u_n\neq-1$ với mọi $n\geq1$ và $$u_{n+2}=\frac{2014+u_n}{1+u_{n+1}}$$ với mọi $n\geq1$.

Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $k$ là đường tròn đường kính $AB$. Một đường tròn tiếp xúc với phân giác góc $BAC$ tại $A$ và đi qua $C$ cắt $k$ tại $P\ne A$. Tương tự, một đường tròn tiếp xúc với phân giác góc $ABC$ tại $B$ và đi qua $C$ cắt $k$ tại $Q\ne B$. Chứng minh hai đường thẳng $AQ$ và $BP$ cắt nhau tại một điểm trên phân giác góc $ACB$. (Peter Novotný)

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(a,b)$ thỏa mãn $$\frac1a+\frac1b=\frac1{2014}?$$

Xét bàn cờ thông thường $8\times8$. Một đường zíc zắc đi trên các ô trắng, bắt đầu ở một ô bất kỳ của hàng dưới cùng rồi đi lên từng hàng cho đến một ô bất kỳ của hàng trên cùng; mỗi bước đi chéo lên một ô. Có bao nhiêu đường zíc zắc?

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$f\left(y^2+2xf(y)+f(x)^2\right)=(y+f(x))(x+f(y))$$ với mọi số thực $x,y$.

Có tồn tại các số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^n+n^b$ và $b^n+n^a$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên $n\geq0$ hay không?

Xác định số lượng lớn nhất các số nguyên có thể chọn từ $\{1,2,\ldots,2014\}$ sao cho hiệu của hai số bất kỳ không bằng 17.

Chứng minh có vô số số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Cho các số thực $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh $$\frac1{a+b+2}+\frac1{b+c+2}+\frac1{c+d+2}+\frac1{d+a+2}\leq1.$$

Cho $D$ và $E$ là các điểm lần lượt nằm trong các cạnh $[A B]$ và $[A C]$ của tam giác $A B C$, sao cho $D B = B C = C E$. Cho $F$ là giao điểm của các đường thẳng $C D$ và $B E$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$, $H$ là trực tâm tam giác $D E F$ và $M$ là trung điểm cung $B A C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $I, H$ và $M$ thẳng hàng.

Tìm mọi số thực $t$ sao cho nếu $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì $a^2+bct$, $b^2+cat$, $c^2+abt$ cũng vậy.