MathNet 2014

Có tồn tại các hàm $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(x+f(y))=y^2+g(x)$ với mọi số thực $x,y$ không?

Một hình vuông $n\times n$ ($n\ge4$) được chia thành $n^2$ ô vuông đơn vị. Tìm mọi giá trị $n$ để có thể phủ hình vuông bằng một số lớp các hình gồm 4 ô có dạng sau [ ] (nghĩa là mỗi ô của hình vuông phải được phủ bởi cùng một số hình).
(Các cạnh của mỗi hình phải trùng với cạnh ô vuông; được phép xoay hình nhưng không hình nào được vượt ra ngoài hình vuông.)
(Ban giám khảo)

Làm rõ nguồn của người biên soạn: Sách đề Belarus 2014 gốc, bài 8.8, vẽ hình chữ nhật thẳng $1\times4$ (tetromino I) tại dấu ngoặc trống, không phải hình chữ L. Định nghĩa khôi phục độc lập này bổ sung bản trích giữ nguyên ở trên.

Đoạn thẳng $\overline{AB}$ là đường kính của đường tròn tâm $O$. Trên đường tròn cho điểm $C$ sao cho $OC\perp AB$. Lấy điểm $P$ trên cung nhỏ $\widehat{BC}$. Các đường thẳng $CP$ và $AB$ cắt nhau tại $Q$; điểm $R$ là giao điểm của $AP$ với đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $AB$. Chứng minh $|BQ|=|QR|$. (Macedonia 2013)

Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$. (IMO Shortlist 2013)

Nếu $p$ và $p^2+8$ đều là số nguyên tố, chứng minh $p^3+4$ cũng là số nguyên tố.

Trên sân có $2014$ vận động viên mặc áo mang các số từ $1$ đến $2014$ (mỗi số xuất hiện trên đúng một áo). Ban đầu tất cả đều đứng. Cứ sau một khoảng thời gian, huấn luyện viên lần lượt hô các số nguyên dương từ $1$ đến $2014$ theo thứ tự tăng dần. Mỗi vận động viên có số áo là bội của số vừa hô đổi tư thế từ đứng sang ngồi xổm hoặc ngược lại.
Sau khi huấn luyện viên hô số $2014$, có bao nhiêu vận động viên đang ngồi xổm?

Cho tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $\angle BAD=90^\circ$, $\angle BAC=2\angle BDC$ và $\angle DBA+\angle DCB=180^\circ$. Tìm $\angle DBA$.

Gọi $H$ là giao điểm các đường cao $AA_1,BB_1,CC_1$ của tam giác nhọn $ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AH$.
Chứng minh $MN$ là đường trung trực của đoạn $B_1C_1$.

Andrija và Boris có $2014$ thẻ mang các số từ $1$ đến $2014$. Andrija giữ mọi thẻ số chẵn, Boris giữ mọi thẻ số lẻ. Andrija xếp các thẻ của mình theo chiều kim đồng hồ thành một vòng tròn, lần lượt từ $2$ đến $2014$, rồi úp chúng xuống để không nhìn thấy số. Boris biết thứ tự và chiều xếp, nhưng không biết vị trí thẻ số $2$. Sau đó Boris đặt một thẻ của mình lên mỗi thẻ của Andrija, tạo thành $1007$ cặp.

Với mỗi cặp, họ so sánh hai số và cho một điểm cho người có thẻ mang số lớn hơn.
Tìm số $N$ lớn nhất sao cho Boris có thể chắc chắn giành ít nhất $N$ điểm. (Ukraine 2010)

Tìm mọi số nguyên tố $p,q$ sao cho
$$p^{q+1}+q^{p+1}$$
là số chính phương.

Chứng minh không có cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn phương trình
$$(x+1)(x+2)\cdots(x+2014)=(y+1)(y+2)\cdots(y+4028).$$

Cho $a$ là số nguyên dương và $b,c$ là các số nguyên sao cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt trong khoảng $\langle 0,\frac12\rangle$. Chứng minh rằng $a\ge6$.

Đánh dấu $n$ điểm trên mặt phẳng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Tô mỗi đoạn bằng một trong bốn màu khác nhau.
Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho có thể tô các đoạn để với bốn điểm bất kỳ, có bốn đoạn nối các điểm ấy mang bốn màu khác nhau.

Cho đa giác đều $101$ đỉnh $A_1A_2\cdots A_{101}$ và tô mỗi đỉnh màu đỏ hoặc xanh. Gọi $N$ là số tam giác tù thỏa mãn: cả ba đỉnh là các đỉnh của đa giác, hai đỉnh có góc nhọn cùng màu, còn đỉnh có góc tù khác màu.

(1) Tìm giá trị lớn nhất của $N$.

(2) Tìm số cách tô các đỉnh để $N$ đạt giá trị lớn nhất. (Hai cách tô khác nhau nếu có một $A_i$ nhận màu khác nhau trong hai cách tô.)

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo; nếu có đỉnh màu xám thì màu của chúng chưa được chỉ định):

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để cả $n^2+3$ và $(n+1)^2+3$ đều chia hết cho $p$. (Stipe Vidak)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $$3^{2n+1}-4^{n+1}+6^n$$ là số nguyên tố.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $a$ sao cho biểu thức $$\frac{n^8+n^6+n^4+n^2+a}{n^2-1}$$ với $n=2014$ là một số nguyên chia hết cho $3$. (Mea Bombardelli)

Đánh dấu $N$ ô trên bảng $n\times n$ sao cho trong bốn ô bất kỳ tạo thành hình $\Box\Box$ luôn có ít nhất một ô được đánh dấu (được phép xoay hình). Tìm giá trị nhỏ nhất của $N$.

Dãy $(a_n)$, $n\in\mathbb N$, được xác định bởi $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$ và
$$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+7}{a_{n-3}}\quad(n\ge4).$$
Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.

Cho số nguyên $n\ge2$ và $a_0,a_1,\ldots,a_n$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh rằng $$a_0-\binom n1a_1+\dots+(-1)^k\binom nka_k+\dots+(-1)^n\binom nna_n=0.$$