MathNet 2013

Có bao nhiêu cách sắp thứ tự $(a_1,\ldots,a_8)$ của $(1,2,\ldots,8)$ sao cho $a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-a_6+a_7-a_8=0$?

Phân tích $1007021035035021007001$ thành thừa số nguyên tố. (Viết đáp án dưới dạng $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$, trong đó $p_1,\ldots,p_k$ là các số nguyên tố phân biệt và $e_1,\ldots,e_k$ là các số nguyên dương.)

Cho các số thực $x\gt y$ thỏa mãn $x^2y^2+x^2+y^2+2xy=40$ và $xy+x+y=8$. Tìm $x$.

Trong mặt phẳng, lấy $A=(0,0)$, $B=(0,1)$ và $C=(1,1)$. Gọi $S$ là hợp hai đoạn $AB,BC$. Gọi $X_1$ là diện tích quét được khi Bobby quay $S$ ngược chiều kim đồng hồ 45° quanh $A$; gọi $X_2$ là diện tích quét được khi Calvin quay $S$ theo chiều kim đồng hồ 45° quanh $A$. Tìm $\frac{X_1+X_2}{2}$.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):

Cho dãy $\{x_i\}_{i\ge0}$ bởi $x_0=x_1=x_2=1$ và $x_k=(x_{k-1}+x_{k-2}+1)/x_{k-3}$ với $k\gt 2$. Tìm $x_{2013}$.

Gọi $N$ là số nguyên dương lớn nhất có thể biểu diễn bằng một số có 2013 chữ số trong cơ số $-4$. Tìm số dư của $N$ khi chia cho 210.

Trong một trò chơi có ba hộp không phân biệt được: một hộp có hai bi đỏ, một hộp có hai bi xanh, hộp cuối có mỗi màu một bi. Trước tiên Raj dự đoán sẽ rút hai bi cùng màu hay khác màu. Sau đó bạn chọn một hộp, rút ngẫu nhiên một bi, xem màu rồi bỏ lại vào đúng hộp ấy. Cuối cùng bạn lặp lại việc này; tuy nhiên các hộp không bị xáo giữa hai lượt, nên bạn có thể quyết định có rút tiếp từ cùng hộp hay không. Raj thắng nếu dự đoán đúng; nếu chơi tối ưu, xác suất thắng là bao nhiêu?

Cho $N$ là số nguyên dương có biểu diễn thập phân chứa 11235 như một chuỗi chữ số liên tiếp, và $k$ là số nguyên dương sao cho $10^k\gt N$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{10^k-1}{\gcd(N,10^k-1)}$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=4$, $BC=7$, $AC=8$. Gọi M là trung điểm đoạn AB và N là điểm nằm trong đoạn AC đồng thời thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Tính BN.

Đặt $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{727}+i\sin\dfrac{2\pi}{727}$. Phần ảo của số phức $\prod_{k=8}^{13}(1+\omega^{3^{k-1}}+\omega^{2\cdot3^{k-1}})$ bằng $\sin\alpha$ với một góc $\alpha$ thuộc $[-\pi/2,\pi/2]$. Tìm $\alpha$.

Tam giác Jarris đang chơi trên mặt phẳng $(x,y)$. Gọi tung độ lớn nhất của nó là $k$. Biết các cạnh của tam giác dài 6,8,10 và không phần nào nằm dưới trục hoành, tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $k$.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):

Gọi $b(n)$ là số chữ số trong biểu diễn cơ số $-4$ của $n$. Tính $\sum_{i=1}^{2013}b(i)$.

Có bao nhiêu số nguyên $1\le k\le2013$ sao cho biểu diễn thập phân của $k^k$ tận cùng bằng 1?

Cho lục giác lồi $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ thỏa mãn $A_iA_{i+2}\parallel A_{i+3}A_{i+5}$ với $i=1,2,3$ (quy ước $A_{i+6}=A_i$ với mọi i). Đoạn $A_iA_{i+2}$ cắt đoạn $A_{i+1}A_{i+3}$ tại $B_i$, với $1\le i\le6$, như hình. Giả sử thêm $\triangle A_1A_3A_5\cong\triangle A_4A_6A_2$. Biết $[A_1B_5B_6]=1$, $[A_2B_6B_1]=4$, $[A_3B_1B_2]=9$ (ký hiệu $[XYZ]$ là diện tích $\triangle XYZ$), tìm diện tích lục giác $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$.

Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0\le x\le y\le z\le4$. Bình phương của chúng lập thành cấp số cộng có công sai $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|x-y|+|y-z|$.

Hai ô tô chạy thẳng về phía nhau, một xe nhanh gấp đôi xe kia. Hai điểm xuất phát cách nhau 4 dặm. Khi gặp nhau, xe nhanh cách điểm xuất phát của nó bao nhiêu dặm?

Cho hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$ có tâm lần lượt $O_1,O_2$ và bán kính lần lượt $r_1,r_2$. Giả sử $O_2$ nằm trên $\omega_1$. Gọi A là một giao điểm của hai đường tròn, B là một trong hai giao điểm của đường thẳng $O_1O_2$ với $\omega_2$. Nếu $AB=O_1A$, tìm mọi giá trị có thể của $r_1/r_2$.

Tính giá trị biểu thức

trong đó chữ số $2$ xuất hiện $2013$ lần.

Spencer làm bánh burrito, mỗi bánh gồm một vỏ và một phần nhân. Anh có đủ nhân để làm tối đa bốn bánh nhân bò và ba bánh nhân gà. Tuy nhiên, anh chỉ có năm vỏ bánh; có bao nhiêu thứ tự làm đúng năm bánh?

Một bộ bài chuẩn 52 lá có 4 chất và 13 số, mỗi cặp chất-số ứng với đúng một lá. Maya rút hai lá có hoàn lại. Xác suất hai lá cùng chất hoặc cùng số, nhưng không đồng thời cả hai, là bao nhiêu?