MathNet 2013

Chứng minh mọi khối đa diện đều có hai mặt có cùng số đỉnh.

1) Cho a,b là các số thực sao cho $a^n+b^n$ nguyên với n=1,2,3,4. Chứng minh tổng này nguyên với mọi $n\in\mathbb N^*$.

2) Có đúng rằng nếu a,b thực và $a^n+b^n$ nguyên với n=1,2,3 thì tổng này nguyên với mọi $n\in\mathbb N^*$ không?

Tìm mọi cặp số hữu tỷ dương sao cho tổng hai số là số nguyên và tổng các nghịch đảo của chúng cũng là số nguyên.

Gotham City là một hình chữ nhật lớn, được các đường phố song song với các cạnh chia thành những khối nhà chữ nhật nhỏ hơn. Giả sử có ít nhất một đường phố và không đường nào chạy xuyên từ một phía thành phố sang phía đối diện. Chứng minh có một khối nhà không chạm biên thành phố.

Mỗi số hữu tỷ dương được tô đỏ hoặc đen sao cho:
- x và x+1 khác màu;
- x và 1/x cùng màu;
- số 1 được tô đỏ.

Số $2012/2013$ có màu gì? (Không yêu cầu chứng minh tồn tại cách tô như vậy.)

Với mỗi số nguyên k≥2, gọi P(k) là ước nguyên tố lớn nhất của k. Chứng minh có vô hạn số nguyên n thỏa $P(n)\lt P(n+1)\lt P(n+2)$.

Các góc của một tam giác bằng 22,5°,45°,112,5°. Chứng minh bên trong tam giác có một điểm nằm trên trung tuyến qua một đỉnh, phân giác qua đỉnh khác và đường cao qua đỉnh còn lại.

Cho hai đa thức P,Q hệ số thực cùng bậc n≥0. Giả sử hệ số xⁿ của mỗi đa thức bằng1 và P(P(x))=Q(Q(x)) với mọi số thực x. Chứng minh P=Q.

Một số có 9 chữ số gọi là thú vị nếu mỗi chữ số từ 1 đến 9 xuất hiện đúng một lần, các chữ số 1 đến 5 xuất hiện theo thứ tự tăng nhưng các chữ số 1 đến 6 không xuất hiện theo thứ tự tăng; ví dụ 189236457.

Có bao nhiêu số thú vị?

Ước chung lớn nhất của các số nguyên dương $a,b,c$ bằng1. Biết rằng $c$ là ước của $a+2b$ và $a^2-b^2$. Chứng minh $c$ cũng là ước của $a-b$.

Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $R_A,R_B,R_C$ lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC,CIA,AIB$, và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh $R_A+R_B+R_C\le3R$.

Định nghĩa một ngôi sao đều n đỉnh là hợp của n đoạn thẳng $P_1P_2,P_2P_3,\ldots,P_nP_1$ sao cho:
- Các điểm $P_1,\ldots,P_n$ đồng phẳng và không có ba điểm thẳng hàng;
- Mỗi đoạn trong n đoạn cắt ít nhất một đoạn khác tại điểm không phải đầu mút;
- Các góc tại $P_1,\ldots,P_n$ bằng nhau;
- Tất cả n đoạn $P_1P_2,P_2P_3,\ldots,P_nP_1$ bằng nhau;
- Đường đi $P_1P_2\ldots P_nP_1$ rẽ ngược chiều kim đồng hồ một góc nhỏ hơn180° tại mỗi đỉnh.
Không có ngôi sao đều 3,4 hoặc6 đỉnh. Mọi ngôi sao đều5 đỉnh đồng dạng, nhưng có hai ngôi sao đều7 đỉnh không đồng dạng. Tìm mọi n sao cho có đúng29 ngôi sao đều n đỉnh đôi một không đồng dạng.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp γ của tam giác ABC và O là tâm ngoại tiếp. Gọi $\omega _A$ là đường tròn qua B,C và tiếp xúc γ. Định nghĩa $\omega _B$,$\omega _C$ tương tự. Gọi A′ là giao điểm còn lại của $\omega _B$,$\omega _C$; định nghĩa B′,C′ tương tự. Chứng minh AA′,BB′,CC′ đồng quy tại một điểm K thẳng hàng với O,I.

Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$\begin{aligned}f\left(\frac{\sqrt3}{3}x\right)&=\sqrt3f(x)-\frac{2\sqrt3}{3}x,\\f(x)f(y)&=f(xy)+f\left(\frac{x}{y}\right)\end{aligned}$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$, $y\ne0$.

Tìm mọi n sao cho tồn tại một đa giác lồi nội tiếp, không đều, có n đỉnh và tất cả góc trong bằng nhau.

a) Có tồn tại số nguyên c và đa thức P(x) hệ số nguyên sao cho P(c)≠c nhưng P(P(c))=c không?

b) Có tồn tại số nguyên c và đa thức P(x) hệ số nguyên sao cho P(c)≠c,P(P(c))≠c nhưng P(P(P(c)))=c không?

Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm nội tiếp I, tâm ngoại tiếp O và đường tròn ngoại tiếp ω. Đường thẳng CI cắt ω tại D khác C. Giả sử AB=ID và AH=OH. Tìm các góc tam giác ABC.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa ab+bc+ca=1. Chứng minh
$$\sqrt[4]{\frac{\sqrt3}{a}+6\sqrt3b}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt3}{b}+6\sqrt3c}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt3}{c}+6\sqrt3a}\le\frac1{abc}.$$
Dấu bằng xảy ra khi nào?

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể của
$$\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}$$
khi a,b,c là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=6$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a,b)$ thỏa mãn $(a+1)(b-1)=a^2b^2$.