Cho $a$ và $b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $a+b = a^2 + b^2$. Giả sử giá trị chung $s = a+b = a^2 + b^2$ không phải là số nguyên, và viết nó dưới dạng phân số tối giản $s = \frac{m}{n}$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $p$.
Một đường tròn có độ dài $999$ được chia thành các cung đơn vị bởi $999$ điểm đen. Sau đó người ta đặt lên đường tròn $d$ cung có độ dài $1$, $2$, ..., $d$, với các đầu mút là điểm đen, sao cho không cung nào chứa cung khác (ngoài ra các cung có thể chồng lên nhau). Tìm tất cả các giá trị $d$ để tồn tại một cấu hình như vậy.
Cho các số thực không âm $a$ và $b$ thỏa mãn $a + b = 1$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{2} \le \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} \le 1.
$$
Khi nào đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức bên trái, và khi nào ở bất đẳng thức bên phải?
Trong tam giác cân $ABC$ với $\overline{AC} = \overline{BC}$, gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $C$ và $M$ là trung điểm của đoạn $CD$. Đường thẳng $BM$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh rằng $AC$ dài gấp ba lần $CE$.
(Erich Windischbacher)
Anton viết lần lượt tất cả các số nguyên dương chia hết cho $2$. Berta viết lần lượt tất cả các số nguyên dương chia hết cho $3$. Clara viết lần lượt tất cả các số nguyên dương chia hết cho $4$. Cô bé ngăn nắp Dora ghi lại các số mà những bạn kia đã viết. Khi làm vậy, cô sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần và không viết số nào quá một lần. Số thứ $2017$ trong danh sách của Dora là số nào?
(Richard Henner)
Phương trình
$$
\lfloor \frac{x}{20} \rfloor = \lfloor \frac{x}{17} \rfloor
$$
có bao nhiêu nghiệm trong tập các số nguyên dương?
Ở đây $\lfloor a \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $a$.
(Karl Czakler)
Cho $ABCDE$ là một ngũ giác đều. Trên đoạn thẳng nối tâm $M$ của ngũ giác với đỉnh $D$, chọn một điểm $P \neq M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt cạnh $AE$ tại các điểm $A$ và $Q$, và cắt đường thẳng qua $P$ vuông góc với $CD$ tại các điểm $P$ và $R$.
Chứng minh rằng $AR$ và $QR$ có độ dài bằng nhau.
(Stephan Wagner)
Anna và Berta chơi một trò chơi trong đó hai người lần lượt lấy các viên bi khỏi bàn. Anna đi trước. Nếu ở đầu một lượt có $n \ge 1$ viên bi trên bàn thì người đến lượt lấy đi $k$ viên bi, trong đó $k \ge 1$ hoặc là số chẵn với $k \le \frac{n}{2}$, hoặc là số lẻ với $\frac{n}{2} \le k \le n$. Người thắng là người lấy viên bi cuối cùng khỏi bàn.
Tìm số $N \ge 100\,000$ nhỏ nhất sao cho Berta có chiến lược chắc chắn thắng nếu ban đầu có đúng $N$ viên bi trên bàn.
(Gerhard Woeginger)
Cho $ABCDE$ là một ngũ giác đều tâm $M$. Chọn một điểm $P \neq M$ trên đoạn thẳng $MD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đoạn thẳng $AE$ tại $A$ và $Q$, và cắt đường thẳng qua $P$ vuông góc với $CD$ tại $P$ và $R$.
*Chứng minh rằng $AR$ và $QR$ có độ dài bằng nhau.*
Anna và Berta chơi một trò chơi trong đó hai người lần lượt lấy các viên bi khỏi bàn. Anna đi trước. Nếu ở đầu một lượt có $n \ge 1$ viên bi trên bàn thì người đến lượt lấy đi $k$ viên bi, trong đó $k \ge 1$ hoặc là số chẵn với $k \le \frac{n}{2}$, hoặc là số lẻ với $\frac{n}{2} \le k \le n$. Người thắng là người lấy viên bi cuối cùng khỏi bàn.
*Tìm số $N \ge 100\,000$ nhỏ nhất sao cho Berta có chiến lược chắc chắn thắng nếu ban đầu có đúng $N$ viên bi trên bàn.*
Các số thực không âm $a$ và $b$ thỏa mãn $a + b = 1$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{2} \le \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} \le 1.
$$
Khi nào đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức bên phải và khi nào ở bất đẳng thức bên trái?
Trong tam giác cân $ABC$ với $\overline{AC} = \overline{BC}$, gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $C$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Đường thẳng $BM$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh rằng độ dài $AC$ gấp ba lần độ dài $CE$.
Anthony viết lần lượt tất cả các số nguyên dương chia hết cho $2$. Bertha viết lần lượt tất cả các số nguyên dương chia hết cho $3$. Claire viết lần lượt tất cả các số nguyên dương chia hết cho $4$. Cô bé ngăn nắp Dora viết tất cả các số mà ba bạn kia đã viết. Khi đó cô sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần và không lặp lại số nào. Số thứ $2017$ trong danh sách của cô là số nào?
(Richard Henner)
Cho trước một số thực $\alpha$.
Tùy theo $\alpha$, tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(f(x+y)f(x-y)) = x^2 + \alpha y f(y)
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.
