Câu hỏi 12
Đối với bất kỳ tập hợp hữu hạn nào $X,$ hãy để $|X|$ biểu thị số phần tử trong $X.$ Xác định $$
S_n = \sum |A \cap B|,
$$ trong đó tổng được lấy trên tất cả các cặp có thứ tự $(A, B)$ sao cho $A$ và $B$ là các tập con của $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ với $|A| = |B|.$ Ví dụ: $S_2 = 4$ vì tổng được lấy trên các cặp tập con $$
\begin{aligned} &(A, B) \in {}\\ &\quad \small\left\{\begin{gathered} (\emptyset, \emptyset), (\{1\}, \{1\}), \\ (\{1\}, \{2\}), (\{2\}, \{1\}), \\ (\{2\}, \{2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\}) \end{gathered}\right\}, \end{aligned}
$$ cho ra $S_2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4.$ Đặt $\frac{S_{2022}}{S_{2021}} = \frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm số dư khi $p + q$ được chia cho $1000.$
S_n = \sum |A \cap B|,
$$ trong đó tổng được lấy trên tất cả các cặp có thứ tự $(A, B)$ sao cho $A$ và $B$ là các tập con của $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ với $|A| = |B|.$ Ví dụ: $S_2 = 4$ vì tổng được lấy trên các cặp tập con $$
\begin{aligned} &(A, B) \in {}\\ &\quad \small\left\{\begin{gathered} (\emptyset, \emptyset), (\{1\}, \{1\}), \\ (\{1\}, \{2\}), (\{2\}, \{1\}), \\ (\{2\}, \{2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\}) \end{gathered}\right\}, \end{aligned}
$$ cho ra $S_2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4.$ Đặt $\frac{S_{2022}}{S_{2021}} = \frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm số dư khi $p + q$ được chia cho $1000.$