Tất cả các lỗ $8$ để buộc dây giày sneaker đều nằm trên một hình chữ nhật, bốn lỗ cách đều nhau trên mỗi cạnh dài hơn. Hình chữ nhật có chiều rộng $50$ mm và chiều dài $80$ mm. Có một lỗ gắn ở mỗi đỉnh của hình chữ nhật. Bản thân ren phải đi qua giữa các lỗ ở đỉnh dọc theo một cạnh rộng của hình chữ nhật và sau đó đan chéo giữa các lỗ liên tiếp cho đến khi chạm tới hai lỗ ở cạnh chiều rộng còn lại của hình chữ nhật như minh họa. Sau khi đi qua các lỗ cuối cùng này, mỗi đầu của ren phải kéo dài thêm ít nhất $200$ mm để có thể thắt nút. Tìm chiều dài tối thiểu của ren tính bằng milimét.
Một chiếc bình chứa $4$ quả bóng màu xanh lá cây và $6$ quả bóng màu xanh lam. Thùng thứ hai chứa $16$ quả bóng màu xanh lá cây và $N$ quả bóng màu xanh lam. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ mỗi bình. xác suất mà cả hai quả bóng có cùng màu là $0.58.$ Tìm $N.$
Jon và Steve đạp xe trên con đường song song với hai đường ray xe lửa cạnh nhau chạy theo hướng đông/tây. Jon cưỡi về phía đông với tốc độ $20$ dặm một giờ, và Steve cưỡi về phía tây với tốc độ $20$ dặm một giờ. Hai đoàn tàu có chiều dài bằng nhau, chạy ngược chiều nhau với tốc độ không đổi nhưng khác nhau, mỗi đoàn tàu vượt qua hai người đi. Mỗi chuyến tàu mất đúng $1$ phút để đi qua Jon. Chuyến tàu đi về hướng tây mất $10$ lần thời gian của chuyến tàu đi về hướng đông để đi qua Steve. Chiều dài của mỗi đoàn tàu là $\frac{m}{n}$ dặm, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Đặt tập hợp $S = \{P_1, P_2, \ldots, P_{12}\}$ bao gồm mười hai đỉnh của một $12$-giác thông thường. Tập hợp con $Q$ của $S$ được gọi là *chung* nếu có một đường tròn sao cho tất cả các điểm của $Q$ đều nằm trong đường tròn và tất cả các điểm của $S$ không nằm trong $Q$ đều nằm ngoài đường tròn. Có bao nhiêu tập hợp con chung? (Lưu ý rằng tập trống là tập con chung.)
Đồ thị $y = 3(x-h)^2 + j$ và $y = 2(x-h)^2 + k$ có $y$-điểm chặn lần lượt là $2013$ và $2014,$ và mỗi đồ thị có hai số nguyên dương $x$-điểm chặn. Tìm $h.$
Đặt $w$ và $z$ là các số phức sao cho $|w| = 1$ và $|z| = 10.$ Đặt $\theta = \arg\left(\tfrac{w-z}{z}\right).$ Giá trị tối đa có thể có của $\tan^2 \theta$ có thể được viết là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$ (Lưu ý rằng $\arg(w),$ cho $w \ne 0,$ biểu thị số đo góc mà tia từ $0$ đến $w$ tạo với trục thực dương trong mặt phẳng phức.)
Các số nguyên dương $N$ và $N^2$ đều kết thúc theo cùng một chuỗi bốn chữ số $abcd$ khi được viết ở cơ số $10,$ trong đó chữ số $a$ không bằng 0. Tìm số có ba chữ số $abc.$
Một đĩa có bán kính $1$ tiếp tuyến bên ngoài với một đĩa có bán kính $5.$ Đặt $A$ là điểm mà các đĩa tiếp tuyến, $C$ là tâm của đĩa nhỏ hơn và $E$ là tâm của đĩa lớn hơn. Trong khi đĩa lớn hơn vẫn cố định, đĩa nhỏ hơn được phép lăn dọc theo bên ngoài đĩa lớn hơn cho đến khi đĩa nhỏ hơn quay qua một góc $360^\circ.$ Nghĩa là, nếu tâm của đĩa nhỏ hơn đã di chuyển đến điểm $D,$ và điểm trên đĩa nhỏ hơn bắt đầu tại $A$ hiện đã di chuyển đến điểm $B,$ thì $\overline{AC}$ song song với $\overline{BD}.$ Khi đó $\sin^2(\angle BEA) = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Mã thông báo bắt đầu tại điểm $(0, 0)$ của lưới tọa độ $xy$ và sau đó thực hiện một chuỗi gồm sáu bước di chuyển. Mỗi bước di chuyển là đơn vị $1$ theo hướng song song với một trong các trục tọa độ. Mỗi nước đi được chọn ngẫu nhiên từ bốn hướng có thể và độc lập với các nước đi khác. xác suất mà mã thông báo kết thúc tại một điểm trên biểu đồ của $|y| = |x|$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đặt $A = \{1, 2, 3, 4\},$ và để $f$ và $g$ được chọn ngẫu nhiên (không nhất thiết phải khác biệt) các hàm từ $A$ đến $A.$ xác suất mà phạm vi của $f$ và phạm vi của $g$ không khớp nhau là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m.$
Trên hình vuông $ABCD,$ các điểm $E,$ $F,$ $G,$ và $H$ lần lượt nằm trên các cạnh $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ và $\overline{DA},$, sao cho $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ và $EG = FH = 34.$ Các đoạn $\overline{EG}$ và $\overline{FH}$ cắt nhau tại một điểm $P,$ và diện tích của tứ giác $AEPH,$ $BFPE,$ $CGPF,$ và $DHPG$ nằm trong tỉ số $269 : 275 : 405 : 411.$ Tìm diện tích của hình vuông $ABCD.$
Giả sử $m$ là nghiệm thực lớn nhất của phương trình $$
\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}
$$ Có các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$ sao cho $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}.$ Tìm $a + b + c.$
Trong $\triangle ABC,$ $AB = 3,$ $BC = 4,$ và $CA = 5.$ Vòng tròn $\omega$ cắt $\overline{AB}$ tại $E$ và $B,$ $\overline{BC}$ tại $B$ và $D,$ và $\overline{AC}$ tại $F$ và $G.$ Cho rằng $EF = DF$ và $\frac{DG}{EG} = \frac{3}{4},$ độ dài $DE = \frac{a\sqrt{b}}{c},$ trong đó $a$ và $c$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và $b$ là số nguyên dương không phải chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$
