Giả sử phép đo thời gian trong ngày được chuyển đổi sang hệ mét để mỗi ngày có $10$ giờ hệ mét và mỗi giờ hệ mét có $100$ phút hệ mét. Sau đó, đồng hồ kỹ thuật số sẽ được sản xuất có thể đọc $9{:}99$ ngay trước nửa đêm, $0{:}00$ lúc nửa đêm, $1{:}25$ lúc $3{:}00$ AM trước đây và $7{:}50$ lúc $6{:}00$ PM trước đây. Sau khi chuyển đổi, một người muốn thức dậy vào thời điểm tương đương với $6{:}36$ AM trước đây sẽ đặt đồng hồ báo thức kỹ thuật số mới của mình cho $A{:}BC,$ trong đó $A,$ $B,$ và $C$ là các chữ số. Tìm $100A + 10B + C.$
Các số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện $$
\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.
$$ Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể có của $a + b.$
Một cây nến lớn có chiều cao $119$ cm. Nó được thiết kế để đốt cháy nhanh hơn khi nó được thắp sáng lần đầu và chậm hơn khi nó chạm tới đáy. Cụ thể, ngọn nến mất $10$ giây để đốt cháy centimet đầu tiên tính từ trên xuống, $20$ giây để đốt cháy centimet thứ hai và $10k$ giây để đốt cháy hết $k$-cm. Giả sử phải mất $T$ giây để ngọn nến cháy hết. Sau đó $\frac{T}{2}$ giây sau khi thắp sáng, chiều cao của ngọn nến tính bằng centimet sẽ là $h.$ Tìm $10h.$
Trong mặt phẳng Descartes, hãy để $A = (1, 0)$ và $B = (2, 2\sqrt{3}).$ tam giác đều $ABC$ được xây dựng sao cho $C$ nằm trong góc phần tư thứ nhất. Đặt $P = (x, y)$ là tâm của $\triangle ABC.$ Khi đó $x \cdot y$ có thể được viết là $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ trong đó $p$ và $r$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $q$ là số nguyên không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ nguyên tố. Tìm $p + q + r.$
Trong $\triangle ABC$ cho điểm $D$ và $E$ trisect $\overline{BC}.$ Sau đó $\sin(\angle DAE)$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ trong đó $a$ và $c$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $b$ là số nguyên không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$
Một nhóm nhân viên được giao nhiệm vụ sắp xếp các tập tin $1775$. Mỗi nhân viên sắp xếp với tốc độ không đổi $30$ tệp mỗi giờ. Hết giờ đầu tiên, một số nhân viên được phân công nhiệm vụ khác; vào cuối giờ thứ hai, cùng số lượng nhân viên còn lại cũng được phân công lại cho một nhiệm vụ khác và việc phân công lại đồng dạng xảy ra vào cuối giờ thứ ba. Nhóm hoàn thành việc sắp xếp trong $3$ giờ và $10$ phút. Tìm số lượng tệp được sắp xếp trong một tiếng rưỡi đầu tiên sắp xếp.
Hình lục giác nội tiếp trong một hình tròn có độ dài các cạnh $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ và $20$ theo thứ tự đó. Bán kính của đường tròn có thể được viết là $p + \sqrt{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương. Tìm $p + q.$
Một bảng $7 \times 1$ được bao phủ hoàn toàn bởi các ô $m \times 1$ mà không bị chồng lên nhau; mỗi ô có thể bao gồm bất kỳ số ô vuông liên tiếp nào và mỗi ô nằm hoàn toàn trên bảng. Mỗi ô có màu đỏ, xanh lam hoặc xanh lục. Gọi $N$ là số ô của bảng $7 \times 1$ trong đó cả ba màu được sử dụng ít nhất một lần. Ví dụ: ô màu đỏ $1 \times 1$, theo sau là ô màu xanh lá cây $2 \times 1$, ô màu xanh lục $1 \times 1$, ô màu xanh lam $2 \times 1$ và ô màu xanh lục $1 \times 1$ là ô xếp hợp lệ. Lưu ý rằng nếu ô màu xanh lam $2 \times 1$ được thay thế bằng hai ô màu xanh lam $1 \times 1$ thì điều này sẽ tạo ra một ô xếp khác nhau. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Cho một đường tròn có bán kính $\sqrt{13},$ giả sử $A$ là một điểm ở khoảng cách $4 + \sqrt{13}$ tính từ tâm $O$ của đường tròn. Đặt $B$ là điểm trên đường tròn gần điểm $A.$ Một đường thẳng đi qua điểm $A$ cắt đường tròn tại các điểm $K$ và $L.$ Giá trị lớn nhất có thể diện tích cho $\triangle BKL$ có thể được viết dưới dạng $\frac{a - b\sqrt{c}}{d},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương, $a$ và $d$ là các số nguyên tố cùng nhau và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ nguyên tố. Tìm $a + b + c + d.$
Đặt $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},$ và đặt $N$ là số hàm $f$ từ tập $A$ đến tập $A$ sao cho $f(f(x))$ là một hàm không đổi. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Đặt $S$ là tập hợp tất cả các đa thức có dạng $z^3 + az^2 + bz + c,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên. Tìm số đa thức trong $S$ sao cho mỗi nghiệm của nó $z$ thỏa mãn $|z| = 20$ hoặc $|z| = 13.$
Trong $\triangle ABC,$ $AC = BC,$ và điểm $D$ nằm trên $\overline{BC}$ sao cho $CD = 3 \cdot BD.$ Đặt $E$ là trung điểm của $\overline{AD}.$ Cho rằng $CE = \sqrt{7}$ và $BE = 3,$ diện tích của $\triangle ABC$ có thể được biểu thị dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Đối với số nguyên dương $n$ và $k,$ đặt $f(n, k)$ là số dư khi $n$ được chia cho $k,$ và với $n \gt 1$ đặt $$
F(n) = \max_{1 \le k \le \frac{n}{2}} f(n, k).
$$ Tìm số dư khi $\sum_{n = 20}^{100} F(n)$ chia cho $1000.$
Cho $A,$ $B,$ $C$ là các góc của một tam giác có $A$ và $C$ nhọn và $B$ lớn hơn một góc vuông thỏa mãn $$
\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}
$$ và $$
\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}
$$ Có các số nguyên dương $p,$ $q,$ $r,$ và $s$ trong đó $$
\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}
$$ trong đó $p + q$ và $s$ là các số nguyên tố cùng nhau và $r$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $p + q + r + s.$