SMO 2014 - Open - Vòng 1

Tính tổng $$1^2\times3+2^2\times4+3^2\times5+4^2\times6+\cdots+20^2\times22.$$

Trong hình sau, $ABC$ là một tam giác; cả $ABC^{\prime}$ và $AB^{\prime} C$ đều là tam giác đều. Gọi $O$ là giao điểm của các đường thẳng $CC^{\prime}$ và $BB^{\prime}$. Tìm $\angle BOC$ theo độ.

Xét hàm $g(x)=Ax^2+Bx$, với $A,B$ là các hằng số. Giả sử hai số $u,v$ thỏa $$g(u-3)=g(v+3),\qquad u-v\ne6.$$ Tìm giá trị lớn nhất có thể của $A(g(u+v))^2+Bg(u+v)$.

Cho hai cấp số cộng $a_1,a_2,\ldots$ và $b_1,b_2,\ldots$ thỏa $a_1=10$, $b_1=24$, $a_{100}+b_{100}=2014$. Tìm tổng hai mươi số hạng đầu của dãy $$a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\ldots.$$

Hình dưới đây (không vẽ theo tỉ lệ) biểu diễn tam giác $ABC$ có $BC=8$ cm, $BA=4$ cm, $AC=2\sqrt{31}$ cm. Điểm $M$ là trung điểm $AC$. Tìm độ dài $BM$ theo cm.

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=27$. Tìm giá trị lớn nhất của $|y-z|$.

Tập $A$ là tập con không rỗng của $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ và có tính chất: nếu $a\in A$ thì $10-a\in A$. Có bao nhiêu tập $A$ như vậy?

Trong dãy $$\frac14,\frac24,\frac34,\frac19,\frac29,\frac39,\ldots,\frac89,\frac1{16},\frac2{16},\ldots,\frac{15}{16},\frac1{25},\frac2{25},\ldots,\frac{24}{25},\ldots,$$ số hạng thứ $N$ là $\frac{2014}{2025}$. Tìm $N$.

Hàm số thực $f$ thỏa $f(x)+f(\frac1{1-x})=\frac{x}{x-1}$ với mọi số thực $x\ne0,1$. Tính $24\times f(-3)$.

Cho $a=\log_2 3$, $b=-\log_4 5$, $c=-\log_2 3+\log_4 5$. Tính $$\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}.$$

Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm $y=\sqrt{x^2+4x+7}+\sqrt{x^2-2x+5}$. Tìm $\lfloor m\rfloor$.

Tìm số bộ ba $(a,b,c)$ với $a,b,c\in\{1,2,3,\ldots,15\}$ thỏa $a\lt b-1$ và $b\lt c-2$.

Số hạng đầu của một cấp số cộng là số nguyên, công sai bằng 2. Nếu tổng $n$ số hạng đầu $(n\gt 1)$ bằng 2014, tìm tổng tất cả các giá trị có thể của $n$.

Cho $a_i\in\{1,-1\}$ với mọi $i=1,2,3,\ldots,2014$, và $$M=\sum_{1\le i\lt j\le2014}a_i a_j.$$ Tìm giá trị dương nhỏ nhất có thể của $M$.

Tìm số chính phương chẵn có bốn chữ số lớn nhất, biết chữ số hàng đơn vị lớn hơn hàng chục 1 và chữ số hàng nghìn lớn hơn hàng trăm 1.

Cho tam giác $ABC$ với $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Giả sử $3a^2+3b^2=5c^2$. Tính $$\frac{\cot A+\cot B}{\cot C}.$$

Tìm số số nguyên $k\in S=\{1,2,3,\ldots,12014\}$ có đúng một trong ba dạng $$n^2,n^3,n^5,$$ với $n$ nguyên.

(Chú ý: Chẳng hạn 100, 1000 thỏa điều kiện, nhưng $64=8^2=4^3$ thì không.)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $$\frac{2014}{a^3(b+c)}+\frac{2014}{b^3(a+c)}+\frac{2014}{c^3(a+b)}.$$

Dãy $a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots$, với $a_1=1$, được xác định sao cho với mọi số nguyên dương $m,n$, $m\ge n$, các số hạng thỏa $$a_{m+n}+a_{m-n}+m-n=\frac12(a_{2m}+a_{2n})+1.$$ Tìm $\left\lfloor\frac{a_{2014}}{2014}\right\rfloor$.

Cho số nguyên dương $n$ sao cho với mỗi chữ số $0,1,\ldots,9$, tồn tại một ước của $n$ tận cùng bằng chữ số đó. Giá trị nhỏ nhất có thể của $n$ là bao nhiêu?