AIME năm 1994

Chuỗi tăng dần $3,$ $15,$ $24,$ $48,$ $\ldots$ bao gồm các bội số dương của $3$ nhỏ hơn một số chính phương. số dư là gì khi số hạng thứ $1994$của dãy được chia cho $1000?$

Một đường tròn có đường kính $\overline{PQ}$ dài $10$ tiếp xúc trong tại $P$ với một đường tròn bán kính $20.$ Hình vuông $ABCD$ được dựng với $A$ và $B$ trên đường tròn lớn hơn, $\overline{CD}$ tiếp tuyến tại $Q$ đến vòng tròn nhỏ hơn và vòng tròn nhỏ hơn bên ngoài $ABCD.$ Độ dài của $\overline{AB}$ có thể được viết dưới dạng $m+\sqrt n,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên. Tìm $m+n.$

Hàm $f$ có thuộc tính là, đối với mỗi số thực $x,$ $$
f(x)+f(x-1)=x^2.
$$ Nếu $f(19)=94,$ thì số dư khi $f(94)$ được chia cho $1000?$

Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $$
\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}
$$ (Đối với số thực $x,$ $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$)

Cho một số nguyên dương $n,$ giả sử $p(n)$ là tích của các chữ số khác 0 của $n.$ (Nếu $n$ chỉ có một chữ số thì $p(n)$ bằng chữ số đó.) Đặt $$
\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999).\end{aligned}
$$ Số nguyên tố lớn nhất thừa số của là bao nhiêu? $S?$

Đồ thị của các phương trình $$
\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k,\end{aligned}
$$ được vẽ trong mặt phẳng tọa độ cho $k=-10,$ $-9,$ $-8,$ $\ldots,$ $9,$ $10.$ Các đường thẳng $63$ này cắt một phần mặt phẳng thành các tam giác đều cạnh $\frac{2}{\sqrt3}.$ Có bao nhiêu hình tam giác như vậy được tạo thành?

Đối với các cặp số thực có thứ tự $(a,b)$ nhất định, hệ phương trình $$
\begin{aligned}ax+by&=1,\\x^2+y^2&=50\end{aligned}
$$ có ít nhất một nghiệm và mỗi nghiệm là một cặp có thứ tự $(x,y)$ gồm các số nguyên. Có bao nhiêu cặp có thứ tự như vậy $(a,b)$?

Các điểm $(0,0),$ $(a,11),$ và $(b,37)$ là các đỉnh của tam giác đều. Tìm giá trị của $ab.$

Trò chơi solitaire được chơi như sau. Sáu cặp gạch giống nhau riêng biệt được đặt trong một cái túi. Người chơi rút ngẫu nhiên từng ô một từ túi và giữ lại chúng, ngoại trừ những ô phù hợp sẽ được đặt sang một bên ngay khi chúng xuất hiện trên tay người chơi. Trò chơi kết thúc nếu người chơi giữ được ba ô, không có hai ô nào khớp nhau; nếu không thì việc vẽ sẽ tiếp tục cho đến khi hết túi. xác suất mà túi sẽ được làm trống là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p+q.$

Trong tam giác $ABC,$ góc $C$ là góc vuông và đường cao từ $C$ cắt $\overline{AB}$ tại $D.$ Độ dài các cạnh của $\triangle ABC$ là số nguyên, $BD=29^3,$ và $\cos B=\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n.$

Chín mươi bốn viên gạch, mỗi viên có kích thước $4''\times10''\times19'',$ sẽ được xếp chồng lên nhau để tạo thành một tòa tháp $94$ viên gạch cao. Mỗi viên gạch có thể được định hướng để nó đóng góp $4'',$ $10'',$ hoặc $19''$ vào tổng chiều cao của tòa tháp. Có thể đạt được bao nhiêu độ cao tháp khác nhau bằng cách sử dụng tất cả $94$ số viên gạch?

Một cánh đồng hình chữ nhật có hàng rào có kích thước $24$ mét x $52$ mét. Một nhà nghiên cứu nông nghiệp có $1994$ mét hàng rào có thể được sử dụng làm hàng rào bên trong để phân chia cánh đồng thành bằng nhau, các ô thử nghiệm hình vuông. Toàn bộ sân phải được ngăn chia và các cạnh của hình vuông phải song song với các cạnh của sân. Số lượng ô thử nghiệm hình vuông lớn nhất mà cánh đồng có thể được phân chia bằng cách sử dụng toàn bộ hoặc một phần $1994$ mét hàng rào là bao nhiêu?

Phương trình $$
x^{10}+(13x-1)^{10}=0
$$ có $10$ nghiệm phức $r_1,$ $\overline{r_1},$ $r_2,$ $\overline{r_2},$ $r_3,$ $\overline{r_3},$ $r_4,$ $\overline{r_4},$ $r_5,$ $\overline{r_5},$ trong đó thanh biểu thị cách chia động từ phức. Tìm giá trị của $$
\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}.\end{aligned}
$$

Một chùm ánh sáng chiếu vào $\overline{BC}$ tại điểm $C$ với góc tới $\alpha=19.94^\circ$ và phản xạ với góc phản xạ bằng nhau như hình vẽ. Chùm sáng tiếp tục đường đi của nó, phản xạ các đoạn thẳng $\overline{AB}$ và $\overline{BC}$ theo quy luật: góc tới bằng góc phản xạ. Cho $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ và $AB=BC,$ xác định số lần chùm ánh sáng sẽ bật ra khỏi hai đoạn thẳng. Bao gồm phản ánh đầu tiên tại $C$ trong số đếm của bạn.

Cho một điểm $P$ trên một tờ giấy hình tam giác $ABC,$ hãy xét các nếp gấp được hình thành trên tờ giấy khi $A,$ $B,$ và $C$ được gấp trên $P.$ Chúng ta hãy gọi $P$ là một điểm gấp của $\triangle ABC$ nếu những đường gấp này, số ba trừ khi $P$ là một trong các đỉnh, thì không giao nhau. Giả sử rằng $AB=36,$ $AC=72,$ và $\angle B=90^\circ.$ Khi đó diện tích của tập hợp tất cả các điểm gấp của $\triangle ABC$ có thể được viết dưới dạng $q\pi-r\sqrt s,$ trong đó $q,$ $r,$ và $s$ là số nguyên dương và $s$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $q+r+s?$ là gì