AIME năm 1993

Có bao nhiêu số nguyên chẵn giữa $4000$ và $7000$ có bốn chữ số khác nhau?

Trong một chiến dịch tranh cử gần đây, một ứng cử viên đã thực hiện chuyến tham quan một đất nước mà chúng tôi cho rằng nằm trên máy bay. Vào ngày đầu tiên của chuyến tham quan, anh ấy đã đi về phía đông, vào ngày thứ hai anh ấy đi về phía bắc, vào ngày thứ ba về phía tây, vào ngày thứ tư về phía nam, vào ngày thứ năm về phía đông, v.v. Nếu ứng viên đã đi $\frac{n^2}{2}$ dặm vào ngày thứ $n$của chuyến tham quan này, thì anh ấy đã cách điểm xuất phát của mình bao nhiêu dặm vào cuối ngày $40$?

Bảng bên dưới hiển thị một số kết quả của Lễ hội câu cá ở thác Frostbite vào mùa hè năm ngoái, cho thấy có bao nhiêu thí sinh đã câu được $n$ cá với các giá trị khác nhau của $n.$

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\ldots$ số lượng thí sinh
người đã bắt được $n$ cá $9$ $5$ $7$ $23$ $\ldots$

$n$ $13$ $14$ $15$ số lượng thí sinh
người đã bắt được $n$ cá $5$ $2$ $1$

Trong bài báo đưa tin về sự kiện này, có thông tin cho rằng

(a) người chiến thắng bắt được cá $15$;
(b) những người bắt được $3$ hoặc nhiều cá hơn thì tính trung bình mỗi người là $6$ cá;
(c) những người bắt được $12$ hoặc ít hơn cá có trung bình $5$ mỗi người.

Tổng số cá đánh được trong lễ hội là bao nhiêu?

Có bao nhiêu bộ số nguyên theo thứ tự $(a,b,c,d)$ với $0<a<b<c<d<500$ thỏa mãn $a+d=b+c$ và $bc-ad=93?$

Đặt $P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8.$ Đối với số nguyên $n\geq1,$ xác định $P_n(x)=P_{n-1}(x-n).$ Hệ số của $x$ trong $P_{20}(x)?$ là gì

Số nguyên dương nhỏ nhất có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chín số nguyên liên tiếp, tổng của mười số nguyên liên tiếp và tổng của mười một số nguyên liên tiếp là bao nhiêu?

Ba số $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ được rút ngẫu nhiên và không thay thế từ bộ $\{1,2,3,\ldots,1000\}.$ Ba số khác, $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ sau đó được rút ngẫu nhiên và không thay thế từ bộ $997$ còn lại những con số. Giả sử $p$ là xác suất mà sau khi xoay phù hợp, một viên gạch có kích thước $a_1\times a_2\times a_3$ có thể được đặt trong một hộp có kích thước $b_1\times b_2\times b_3,$ với các cạnh của viên gạch song song với các cạnh của hộp. Nếu $p$ được viết dưới dạng phân số ở dạng tối giản thì tổng của tử số và mẫu số là bao nhiêu?

Đặt $S$ là một tập hợp có sáu phần tử. Có bao nhiêu cách khác nhau để chọn hai tập con không nhất thiết phải khác biệt của $S$ sao cho hợp của hai tập con đó là $S?$ Thứ tự chọn không quan trọng; ví dụ: cặp tập hợp con $\{a,c\},$ $\{b,c,d,e,f\}$ đại diện cho cùng một lựa chọn như cặp $\{b,c,d,e,f\},$ $\{a,c\}.$

Hai nghìn điểm được cho trên một vòng tròn. Dán nhãn một trong các điểm $1.$ Từ điểm này, đếm $2$ điểm theo hướng theo chiều kim đồng hồ và gắn nhãn điểm này $2.$ Từ điểm được gắn nhãn $2,$ đếm $3$ điểm theo hướng theo chiều kim đồng hồ và gắn nhãn điểm này $3.$ (Xem hình.) Tiếp tục quá trình này cho đến khi các nhãn $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $1993$ đều được sử dụng. Một số điểm trên vòng tròn sẽ có nhiều nhãn và một số điểm sẽ không có nhãn. Số nguyên nhỏ nhất gắn nhãn cùng một điểm là $1993?$ là bao nhiêu?

Công thức Euler phát biểu rằng đối với một khối đa diện lồi có $V$ đỉnh, $E$ cạnh và $F$ mặt, $V-E+F=2.$ Một khối đa diện lồi cụ thể có các mặt $32$, mỗi mặt là một hình tam giác hoặc một hình ngũ giác. Tại mỗi đỉnh $V$ của nó, các mặt hình tam giác $T$ và $P$ các mặt ngũ giác gặp nhau. Giá trị của $100P+10T+V?$ là bao nhiêu

Alfred và Bonnie chơi một trò chơi trong đó họ lần lượt tung một đồng xu công bằng. Người chiến thắng trong trò chơi là người đầu tiên có được một cái đầu. Alfred và Bonnie chơi trò chơi này nhiều lần với quy định rằng người thua trò chơi này sẽ là người đầu tiên ở trò chơi tiếp theo. Giả sử Alfred đi đầu trong ván đầu tiên và xác suất mà anh ấy thắng ván thứ sáu là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Ba chữ số cuối của $m+n?$ là gì

Các đỉnh của $\triangle ABC$ là $A=(0,0),$ $B=(0,420),$ và $C=(560,0).$ Sáu mặt của xúc xắc được dán nhãn bằng hai $A$, hai $B$ và hai $C$. Điểm $P_1=(k,m)$ được chọn ở bên trong $\triangle ABC,$ và các điểm $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $\ldots$ được tạo ra bằng cách lăn xúc xắc liên tục và áp dụng quy tắc: Nếu xúc xắc hiển thị nhãn $L,$ trong đó $L\in\{A,B,C\},$ và $P_n$ là điểm thu được gần đây nhất, khi đó $P_{n+1}$ là điểm giữa của $\overline{P_nL}.$ Cho rằng $P_7=(14,92),$ $k+m?$ là gì

Jenny và Kenny đang đi cùng một hướng, Kenny với tốc độ $3$ feet mỗi giây và Jenny với tốc độ $1$ feet mỗi giây, trên những con đường song song cách nhau $200$ feet. Một tòa nhà hình tròn cao $100$ có đường kính feet nằm ở giữa các lối đi. Tại thời điểm tòa nhà lần đầu tiên chặn tầm nhìn giữa Jenny và Kenny, họ cách nhau $200$ feet. Gọi $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây trước khi Jenny và Kenny có thể gặp lại nhau. Nếu $t$ được viết dưới dạng phân số ở dạng tối giản thì tổng của tử số và mẫu số là bao nhiêu?

Một hình chữ nhật nội tiếp trong một hình chữ nhật lớn hơn (với một đỉnh ở mỗi cạnh) được gọi là không dính nếu có thể xoay (tuy nhiên một chút) hình chữ nhật nhỏ hơn quanh tâm của nó trong giới hạn của hình chữ nhật lớn hơn. Trong số tất cả các hình chữ nhật có thể nội tiếp không dính trong hình chữ nhật $6$ x $8$, chu vi nhỏ nhất có dạng $\sqrt N,$ cho số nguyên dương $N.$ Tìm $N.$

Đặt $\overline{CH}$ là độ cao của $\triangle ABC.$ Đặt $R$ và $S$ là các điểm mà các đường tròn nội tiếp trong tam giác $ACH$ và $BCH$ tiếp xúc với $\overline{CH}.$ Nếu $AB=1995,$ $AC=1994,$ và $BC=1993,$ thì $RS$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n.$