SMO 2011 - Open - Vòng 1

Một đồng xu tròn $A$ lăn không trượt dọc theo chu vi một đồng xu tròn cố định $B$ có bán kính gấp đôi bán kính của $A$. Gọi $x$ là số độ mà $A$ quay quanh tâm của nó cho đến khi lần đầu trở lại vị trí ban đầu. Tìm $x$.

Ba thị trấn $X,Y,Z$ có tọa độ lần lượt $(0,0),(200,0),(0,300)$, với số học sinh tương ứng $100,200,300$. Xây trường tại điểm lưới nguyên $(x,y)$ sao cho tổng quãng đường tất cả học sinh đi là nhỏ nhất. Tính $x+y$.

Tìm chữ số khác $0$ cuối cùng của $30!$. Ví dụ $5!=120$ có chữ số khác $0$ cuối cùng là $2$.

Hình vẽ cho tam giác cân $ABC$ với $AB=AC$, $\angle A=20^\circ$. Điểm $D$ thuộc $AC$ sao cho $AD=BC$, và vẽ đoạn $BD$. Tính góc $ABD$ theo độ.

Biết $\dfrac{\cos^4\alpha}{\cos^2\beta}+\dfrac{\sin^4\alpha}{\sin^2\beta}=1$, tính $\dfrac{\cos^4\beta}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\sin^4\beta}{\sin^2\alpha}$.

Biểu diễn $25$ thành tổng các số nguyên dương $x_1,\ldots,x_k$, với $k\le25$. Tìm giá trị lớn nhất của tích $x_1x_2\cdots x_k$.

Gọi $x_0$ là nghiệm thực lớn nhất của $x^4-16x-12=0$. Tính $\lfloor10x_0\rfloor$.

Cho $x_i\in\{\sqrt2-1,\sqrt2+1\}$ với $i=1,2,\ldots,2012$. Đặt $S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2011}x_{2012}$. Hỏi $S$ có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên dương phân biệt?

Cho $A=\{x\in\mathbb R:x^2+x-110\lt 0\}$, $B=\{x\in\mathbb R:x^2+10x-96\lt 0\}$. Tập nghiệm nguyên của $x^2+ax+b\lt 0$ đúng bằng các số nguyên thuộc $A\cap B$. Tìm giá trị lớn nhất của $\lfloor|a-b|\rfloor$.

Biết $\alpha+\beta+\gamma=14$, $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=84$, $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=584$. Tìm $\max\{\alpha,\beta,\gamma\}$.

Tìm số nguyên dương chẵn lớn nhất không biểu diễn được thành tổng của hai số nguyên dương lẻ hợp số.

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa $1/a+1/b=1/c$, $\gcd(a,b,c)=1$, và $a+b\le2011$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $a+b$.

Ký hiệu $x[n]$ là tháp lũy thừa kết hợp từ phải $x^{x^{\cdot^{\cdot^x}}}$ gồm $n$ số $x$. Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho $9[9]\lt 3[n]$. Ví dụ $3[2]=3^3=27$, $2[3]=2^{2^2}=16$.

Trong tam giác $ABC$, $\angle B=90^\circ$, $\angle C=20^\circ$. Các điểm $D,E$ thuộc $BC$, với $\angle ADC=140^\circ$, $\angle AEC=150^\circ$. Biết $AD=10$, tính $BD\cdot CE$.

Cho $S=\{1,2,3,\ldots,65\}$. Tìm số tập con ba phần tử $\{a_1,a_2,a_3\}$ của $S$ sao cho $a_i\le a_{i+1}-(i+2)$ với $i=1,2$.

Tính $\displaystyle\frac3{\sin^2 20^\circ}-\frac1{\cos^2 20^\circ}+64\sin^2 20^\circ$.

Hàm số thực $f$ thỏa $f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15x$ với mọi $x$ thực. Tính $f(2011)$.

Một họ gồm $2011$ đường tròn chia mặt phẳng thành $N$ miền. Mỗi cặp đường tròn cắt nhau tại hai điểm và không có điểm nào thuộc ba đường tròn. Tìm bốn chữ số cuối của $N$.

Một số nguyên dương $N$ được gọi là “nhìn thấy được” nếu $N=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\lfloor3x\rfloor$ với một số thực $x$; nếu không thì gọi là “vô hình”. Ví dụ $8=\lfloor1.5\rfloor+\lfloor2(1.5)\rfloor+\lfloor3(1.5)\rfloor$ nhìn thấy được, còn $10$ vô hình. Tìm số nguyên dương vô hình thứ $2011$ theo thứ tự tăng.

Gọi $A$ là tổng mọi số nguyên không âm $n$ thỏa $\lfloor n/27\rfloor=\lfloor n/28\rfloor$. Tính $A$.