IMC 2005 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi cá nhân

Tổng một số có bốn chữ số và bốn chữ số của nó là $2005$. Tìm số đó.

Trong tam giác $ABC$, $AB=10$ cm và $AC=18$ cm. $M$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng qua $M$ song song phân giác $\angle CAB$ cắt $AC$ tại $D$. Tìm $AD$ theo cm.

Cho $x,y,z\gt 0$ thỏa mãn $x+y+xy=8$, $y+z+yz=15$ và $z+x+zx=35$. Tính $x+y+z+xy$.

Mười một bạn nam và $n$ bạn nữ hái tổng cộng $n^2+9n-2$ cây nấm, mỗi bạn hái số nấm như nhau. Tìm số nguyên dương $n$.

Số nguyên dương $x$ thỏa mãn cả $x$ và $x+99$ đều là số chính phương. Tìm tổng tất cả các giá trị $x$ như vậy.

Các cạnh một tam giác vuông có độ dài nguyên dương theo cm, và một cạnh góc vuông không quá $20$ cm. Tỉ số bán kính ngoại tiếp với bán kính nội tiếp là $5:2$. Tìm chu vi lớn nhất theo cm.

Gọi nghiệm lớn của $(2004x)^2-2003\cdot2005x-1=0$ là $\alpha$, nghiệm nhỏ của $x^2+2003x-2004=0$ là $\beta$. Tính $\alpha-\beta$.

Cho $a\gt 0$ thỏa mãn $a^2+1/a^2=5$. Tính $a^3+1/a^3$.

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5$ cm. Nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $CD$ tại hai điểm, một điểm cách $A$ một đoạn $4$ cm. Tìm diện tích $ABCD$ theo cm vuông.

Cho $a=9\left(n(10/9)^n-1-10/9-(10/9)^2-\cdots-(10/9)^{n-1}\right)$, với $n$ nguyên dương. Nếu $a$ nguyên, tìm giá trị lớn nhất của nó.

Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Tích hai chữ số chia hết cho tổng của chúng. Tìm số đó.

Hình chữ nhật $PQRS$ có diện tích $10$ cm vuông. $A$ nằm trên $RS$, $B$ trên $PS$, và tam giác $QAB$ có diện tích $4$ cm vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $PB+AR$ theo cm.

Cho $a+bc=b+ca=c+ab=501$, với $a,b,c$ thực. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $a+b+c$. Tính $M+2m$.

Khoảng cách từ một điểm trong tứ giác tới bốn đỉnh là $1,2,3,4$ cm. Tìm diện tích lớn nhất của tứ giác theo cm vuông.

Bảng kéo dài có hai hàng. Ban đầu $1,2,\ldots,2005$ nằm trong $2005$ ô đầu hàng một. Mỗi lượt cộng hai số đầu, thêm tổng vào cuối hàng, và chuyển hai số đã dùng xuống các ô tương ứng hàng hai. Tiếp tục đến khi hàng một còn một số rồi chuyển số đó xuống. Tìm tổng mọi số hàng hai. Ví dụ, bắt đầu bằng $1,2,3,4,5$ thì hàng hai cuối cùng là $1,2,3,4,5,3,7,8,15$, tổng bằng $48$.