IMC 2010 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Giải hệ với các số thực $w,x,y,z$: $$\begin{cases}w+8x+3y+5z=20,\\4w+7x+2y+3z=-20,\\6w+3x+8y+7z=20,\\7w+2x+7y+3z=-20.\end{cases}$$

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $AB$ là cạnh ngắn nhất và $CD$ dài nhất. Chứng minh $\angle A\gt \angle C$, $\angle B\gt \angle D$.

Các số nguyên $m\ge n$ thỏa $m^3+n^3+1=4mn$. Tìm giá trị lớn nhất $m-n$.

Sáu mươi bốn điểm lập thành lưới $8\times8$, hai điểm kề cùng hàng hay cột cách một centimet. Đếm mọi hình chữ nhật diện tích mười hai centimet vuông có bốn đỉnh là các điểm.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao có đúng một số nguyên dương $k$ thỏa $\frac8{15}\lt \frac{n}{n+k}\lt \frac7{13}$.

Mỗi hàng và mỗi cột của bảng $9\times9$ chứa nhiều nhất bốn số khác nhau. Toàn bảng có thể có nhiều nhất bao nhiêu số khác nhau?

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $\angle ADB=16^\circ$, $\angle BDC=48^\circ$, $\angle ACD=58^\circ$, $\angle BCA=30^\circ$. Tính $\angle ABD$.

Tìm mọi bộ có thứ tự $(x,y,z)$ gồm các số thực dương sao mỗi số $x+1/y$, $y+1/z$, $z+1/x$ đều nguyên.

Điền một đến mười lăm vào mười lăm đường tròn hình trái, mỗi số một lần. Giá trị mỗi vòng cộng giá trị mọi vòng tiếp xúc nó phải bằng số tương ứng hình phải. Mỗi hàng trừ hàng đầu cũng có tổng đã ghi.

Các chữ K, O, R, E, A, I, M, C tạo tám hàng: một K, hai O, v.v. đến tám C. Từ K, ghép KOREAIMC bằng cách xuống hàng kế, thẳng dưới hoặc một trong hai vị trí cạnh, như đường chữ đậm. Cấm một trong ba mươi sáu chữ khiến số đường còn năm trăm mười sáu. Chữ nào bị cấm?