Câu hỏi 1
Cho tam giác $ABC$ có $(I)$ và $(O)$ lần lượt là đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ trên các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ là các đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn $(I)$ và $(O)$ lần lượt tại $D,K$ (với $\omega_A$), tại $E,M$ (với $\omega_B$), và tại $F,N$ (với $\omega_C$). Chứng minh rằng:
1. Các đường thẳng $DK,EM,FN$ đồng quy tại $P$.
2. Trực tâm của tam giác $DEF$ nằm trên đoạn $OP$.
Giữ nguyên đề, kể cả từ “đoạn” và việc không chỉ định kiểu tiếp xúc. Đề sai trên nhánh mà lời giải nguồn sử dụng; xem phản ví dụ tường minh.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
1. Các đường thẳng $DK,EM,FN$ đồng quy tại $P$.
2. Trực tâm của tam giác $DEF$ nằm trên đoạn $OP$.
Giữ nguyên đề, kể cả từ “đoạn” và việc không chỉ định kiểu tiếp xúc. Đề sai trên nhánh mà lời giải nguồn sử dụng; xem phản ví dụ tường minh.
PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.