VMO 2005 — Bảng A

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện:
$$x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y.$$
Hãy xác định giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức $P=x+y$.

Cho $(O)$ là một đường tròn cố định bán kính $R$. Lấy các điểm $A,B$ cố định trên đường tròn $(O)$ thỏa mãn $A,B,O$ không thẳng hàng. Xét điểm thay đổi $C$ nằm trên đường tròn $(O)$, $C\ne A,B$. Dựng hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ đi qua các điểm $A,B$ và tiếp xúc với $BC,AC$ tại $C$, tương ứng. Đường tròn $(O_1)$ giao với đường tròn $(O_2)$ ở $D$, $D\ne C$. Chứng minh rằng
(a) $CD\le R$;
(b) đường thẳng $CD$ luôn đi qua một điểm không phụ thuộc vào điểm $C$ khi $C$ chạy trên đường tròn $(O)$.

Cho đa giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ lồi tám cạnh sao cho không có ba đường chéo nào đồng quy. Giao của hai đường chéo tùy ý được gọi là một “nút”. Xét tất cả các tứ giác lồi được tạo bởi bốn đỉnh của bát giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ và các tứ giác đó sẽ được gọi là những “tứ giác con”. Hãy xác định số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn:
Chúng ta có thể tô màu $n$ “nút” sao cho với mọi $i\ne k$ mà $i,k\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ thì các số $s(i,k)$ là bằng nhau, ở đó $s(i,k)$ được kí hiệu là số các “tứ giác con” có $A_i,A_k$ là các đỉnh và giao của hai đường chéo là một nút.

Hãy xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn điều kiện
$$f(f(x-y))=f(x)f(y)-f(x)+f(y)-xy$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.

Hãy tìm tất cả các bộ ba $(x,y,n)$ các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
$$\frac{x!+y!}{n!}=3^n.$$

Lấy $\{x_n\}$ là dãy số thực được xác định bởi
$$x_1=a,\qquad x_{n+1}=3x_n^3-7x_n^2+5x_n,\quad n\in\mathbb N.$$
Hãy xác định tất cả các số thực $a$ thỏa mãn dãy $\{x_n\}$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$ và xác định giới hạn đó trong trường hợp tìm được.