Trong tam giác nhọn $ABC$, $M$ là một điểm trên cạnh $BC$. Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của $ABC$ tại điểm $Q$ khác $A$. Tiếp tuyến của $\omega$ tại $Q$ cắt đường thẳng qua $M$ vuông góc với đường kính $AK$ của $\omega$ tại $P$. Gọi $L$ là điểm trên $\omega$, khác $Q$, sao cho $PL$ tiếp xúc với $\omega$ tại $L$. Chứng minh $L,M,K$ thẳng hàng.
Có $n=1681$ em nhỏ $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ngồi theo chiều kim đồng hồ thành một vòng tròn trên sàn. Cô giáo đi phía sau các em theo chiều kim đồng hồ. Cô đặt một viên kẹo sau em đầu tiên $a_1$, rồi bỏ qua một em và đặt một viên sau em thứ ba $a_3$. Sau đó cô bỏ qua hai em và đặt một viên sau em kế tiếp là $a_6$. Cô tiếp tục như vậy: mỗi lần bỏ qua nhiều hơn lần trước một em, rồi đặt một viên kẹo sau em kế tiếp. Có bao nhiêu em không bao giờ nhận được kẹo? Hãy giải thích.
Cho $n\ge3$ là số nguyên. Chứng minh tồn tại các số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$, mỗi số ít nhất bằng $2$, sao cho $$a_1a_2\cdots\widehat{a_i}\cdots a_n\equiv1\pmod{a_i},\qquad i=1,\ldots,n.$$ Ở đây $\widehat{a_i}$ nghĩa là bỏ thừa số $a_i$.
Có thể tô màu từng ô của bàn $9\times9$ sao cho mỗi khối $2\times3$ hoặc $3\times2$ đều chứa đúng $2$ ô đen không? Nếu có, tổng số ô đen có thể là bao nhiêu?
Cho $A$ là điểm trên đường tròn $\omega$ tâm $B$, và $\Gamma$ là đường tròn tâm $A$. Với $i=1,2,3$, dây $P_iQ_i$ của $\omega$ tiếp xúc với $\Gamma$ tại $S_i$, còn dây $P_iR_i$ của $\omega$ vuông góc với $AB$ tại $M_i$. Gọi $Q_iT_i$ là tiếp tuyến còn lại từ $Q_i$ đến $\Gamma$, tiếp xúc tại $T_i$, và $N_i$ là giao điểm của $AQ_i$ với $M_iT_i$. Chứng minh $N_1,N_2,N_3$ thẳng hàng.