SMO 2015 - Junior - Vòng 2

Cho $n=\overline{30x070y03}$ là số nguyên có 9 chữ số. Tìm tất cả các cặp $(x,y)$ để $n$ là bội của $37$.

Trong lục giác lồi $ABCDEF$, $AB$ song song với $DE$, $BC$ song song với $EF$ và $CD$ song song với $FA$. Chứng minh rằng hai tam giác $ACE$ và $BDF$ có cùng diện tích.

Có 30 em nhỏ $a_1,a_2,\ldots,a_{30}$ ngồi theo chiều kim đồng hồ thành một vòng tròn trên sàn. Cô giáo cầm hộp có 1000 viên kẹo, đi phía sau các em theo chiều kim đồng hồ. Cô đặt một viên kẹo sau em đầu tiên $a_1$, rồi bỏ qua một em và đặt một viên sau em thứ ba $a_3$. Tiếp theo, cô bỏ qua hai em và đặt một viên sau em kế tiếp là $a_6$. Cô tiếp tục như vậy: mỗi lần, số em bị bỏ qua nhiều hơn lần trước một em, rồi đặt một viên kẹo sau em kế tiếp. Có bao nhiêu em không bao giờ nhận được kẹo? Hãy giải thích.

Cho $A$ là tập gồm các số được chọn từ $1,2,\ldots,2015$, có tính chất: hai số phân biệt bất kỳ $x,y$ trong $A$ xác định duy nhất một tam giác cân không đều mà mỗi cạnh có độ dài $x$ hoặc $y$. Số phần tử lớn nhất có thể có của $A$ là bao nhiêu?

Tìm tất cả số nguyên dương $k$ sao cho $k^k+1$ chia hết cho $30$. Hãy giải thích.