SMO 2015 - Open - Vòng 2

Trong tam giác nhọn $ABC$, $D$ là điểm trên $BC$ sao cho $AD$ chia đôi $\angle BAC$. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $AB,AC$. Hai đoạn $BF,CE$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $AK$ vuông góc với $BC$.

Một cậu bé sống trên một hòn đảo nhỏ, ở mỗi giao lộ có ba con đường. Cậu xuất phát từ nhà và đi theo các đường. Tại mỗi giao lộ, cậu chọn rẽ sang đường bên phải hoặc bên trái luân phiên, tức là các lựa chọn có dạng $\ldots$, trái, phải, trái, $\ldots$. Chứng minh cuối cùng cậu sẽ trở về nhà.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$, trong đó $\mathbb R$ là tập số thực, sao cho $$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$$ với mọi $x,y\in\mathbb R$.

Cho $f_0,f_1,\ldots$ là dãy Fibonacci: $f_0=f_1=1$, $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ khi $n\ge2$. Xác định tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên dương $a$ thỏa $f_n\le a\le f_{n+1}$ và $$a\left(\frac1{f_1}+\frac1{f_1f_2}+\frac1{f_1f_2f_3}+\cdots+\frac1{f_1f_2\cdots f_n}\right)$$ là số nguyên.

Cho số nguyên $n\ge3$. Tìm số nguyên $d$ lớn nhất (theo $n$) sao cho với mọi tập $S$ gồm $n$ số nguyên, tồn tại bốn tập con khác nhau, khác rỗng (nhưng không nhất thiết rời nhau), mà tổng các phần tử của mỗi tập đều chia hết cho $d$.