SMO 2009 - Junior - Vòng 2

Trong tam giác $ABC$, $\angle A=2\angle B$. Gọi $a,b,c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $$a^2=b(b+c).$$

Tập các số nguyên có $2000$ chữ số được chia thành hai tập: tập $M$ gồm những số có thể biểu diễn thành tích của hai số nguyên có $1000$ chữ số, và tập $N$ gồm các số còn lại. Tập nào trong hai tập $M$ và $N$ có nhiều phần tử hơn?

Giả sử $\overline{a_1a_2\ldots a_{2009}}$ là số nguyên có $2009$ chữ số sao cho với mỗi $i=1,2,\ldots,2007$, số có $2$ chữ số $\overline{a_i a_{i+1}}$ có $3$ thừa số nguyên tố phân biệt. Tìm $a_{2008}$.

(Chú ý: $\overline{xyz\ldots}$ chỉ số nguyên có các chữ số là $x,y,z,\ldots$.)

Gọi $S$ là tập các số nguyên viết được dưới dạng $50m+3n$, trong đó $m,n$ là các số nguyên không âm. Ví dụ, $3$, $50$, $53$ đều thuộc $S$. Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương không thuộc $S$.

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh rằng nếu $x_1,x_2,\ldots,x_5$ là các số thực dương có $x_1x_2\cdots x_5=1$ thì $$(ax_1+b)(ax_2+b)\cdots(ax_5+b)\ge1.$$