SMO 2009 - Senior - Vòng 2

Cho $M,N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB,AC$ của tam giác $ABC$. Nếu $$\frac{BM}{MA}+\frac{CN}{NA}=1,$$ hãy chứng minh rằng $MN$ đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $n,m$ thỏa mãn phương trình $3\cdot2^m+1=n^2$.

Cho $A$ là một tập con gồm $n$ phần tử của $\{1,2,\ldots,2009\}$, có tính chất hiệu của hai số bất kỳ trong $A$ không phải số nguyên tố. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ và đưa ra một tập đạt số phần tử đó. (Chú ý: $1$ không phải số nguyên tố.)

Cho $a,b,c\gt 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng nếu $x_1,x_2,\ldots,x_5$ là các số thực dương có $x_1x_2\cdots x_5=1$ thì $$(ax_1^2+bx_1+c)(ax_2^2+bx_2+c)\cdots(ax_5^2+bx_5+c)\ge1.$$

Trong một cuộc thi bắn cung có $30$ người. Bia được chia thành hai vùng. Bắn trúng vùng $1$ được $10$ điểm, trúng vùng $2$ được $5$ điểm, còn bắn trượt không được điểm. Mỗi người bắn $16$ mũi tên. Sau cuộc thi, thống kê cho thấy hơn $50\%$ số mũi tên trúng vùng $2$. Số mũi tên trúng vùng $1$ bằng số mũi tên bắn trượt. Chứng minh rằng có hai người có cùng số điểm.