Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

SMO 2009 - Senior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Cho mặt phẳng $\pi$ và hai điểm $A,B$ thuộc $\pi$. Khoảng cách $AB$ bằng $33$ cm. Có bao nhiêu đường thẳng trong mặt phẳng cách $A$ một khoảng $7$ cm và cách $B$ một khoảng $26$ cm?
  1. $1$
  2. $2$
  3. $3$
  4. $4$
  5. Vô số

Câu hỏi 2

Cho $y=(17-x)(19-x)(19+x)(17+x)$, với $x$ thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $y$.
  1. $-1296$
  2. $-1295$
  3. $-1294$
  4. $-1293$
  5. $-1292$

Câu hỏi 3

Chọn ngẫu nhiên hai số thực $a,b$ trong khoảng $(0,1)$. Tìm xác suất phương trình $x^2-\sqrt a\,x+b=0$ có nghiệm thực.
  1. $\frac18$
  2. $\frac5{16}$
  3. $\frac3{16}$
  4. $\frac14$
  5. $\frac13$

Câu hỏi 4

Nếu các số thực $x,y$ thỏa mãn $|x|+x+5y=2$, $|y|-y+x=7$, tính $x+y$.
  1. $-3$
  2. $-1$
  3. $1$
  4. $3$
  5. $5$

Câu hỏi 5

Trong tam giác $ABC$, $\sin A=\dfrac35$, $\cos B=\dfrac5{13}$. Tính $\cos C$.
  1. $\frac{56}{65}$ hoặc $\frac{16}{65}$
  2. $\frac{56}{65}$
  3. $\frac{16}{65}$
  4. $-\frac{56}{65}$
  5. $\frac{56}{65}$ hoặc $-\frac{16}{65}$

Câu hỏi 6

Tam giác $ABC$ có diện tích $40\text{ cm}^2$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên $AB,BC,CA$ như hình. Biết $AD=3$ cm, $DB=5$ cm và diện tích tam giác $ABE$ bằng diện tích tứ giác $DBEF$. Tính diện tích tam giác $AEC$ theo $\text{cm}^2$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $11$
  2. $12$
  3. $13$
  4. $14$
  5. $15$

Câu hỏi 7

Tính $\displaystyle\frac3{1!+2!+3!}+\frac4{2!+3!+4!}+\cdots+\frac{22}{20!+21!+22!}$.
  1. $1-\frac1{24!}$
  2. $\frac12-\frac1{23!}$
  3. $\frac12-\frac1{22!}$
  4. $1-\frac1{22!}$
  5. $\frac12-\frac1{24!}$

Câu hỏi 8

Có tám phong bì đánh số từ $1$ đến $8$. Có bao nhiêu cách đặt $4$ nút đỏ giống nhau và $4$ nút xanh giống nhau vào các phong bì sao cho mỗi phong bì chứa đúng một nút và tổng số ghi trên phong bì chứa nút đỏ lớn hơn tổng số ghi trên phong bì chứa nút xanh?
  1. $35$
  2. $34$
  3. $32$
  4. $31$
  5. $62$

Câu hỏi 9

Tìm số tam giác nhọn (tức mọi góc đều nhỏ hơn $90^\circ$) có số đo các góc theo độ là số nguyên dương và góc lớn nhất gấp ba góc nhỏ nhất.
  1. $3$
  2. $4$
  3. $5$
  4. $6$
  5. $7$

Câu hỏi 10

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$; $E$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $AB$ như hình. Nếu $AD=DC$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $24\text{ cm}^2$, tính $DE$ theo cm.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $3\sqrt2$
  2. $2\sqrt6$
  3. $2\sqrt7$
  4. $4\sqrt2$
  5. $6$

Câu hỏi 11

Tìm số ước dương của $\bigl(2008^3+(3\times2008\times2009)+1\bigr)^2$.

Câu hỏi 12

Cho các số thực $a,b,c$ đều lớn hơn $1$. Tính
$$\frac1{1+\log_{a^2b}(c/a)}+\frac1{1+\log_{b^2c}(a/b)}+\frac1{1+\log_{c^2a}(b/c)}.$$

Câu hỏi 13

Tìm số dư khi chia $(1!\times1)+(2!\times2)+(3!\times3)+\cdots+(286!\times286)$ cho $2009$.

Câu hỏi 15

Cho $a=\dfrac{1+\sqrt{2009}}2$. Tính $(a^3-503a-500)^{10}$.

Câu hỏi 16

Trong hình, $ABC$ là tam giác, $D$ nằm trên $BC$. Điểm $E$ trên $AB$ sao cho $DE$ phân giác $\angle ADB$; điểm $F$ trên $AC$ sao cho $DF$ phân giác $\angle ADC$. Tính
$$\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CF}{FA}.$$
Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 17

Tính $(\cot25^\circ-1)(\cot24^\circ-1)(\cot23^\circ-1)(\cot22^\circ-1)(\cot21^\circ-1)(\cot20^\circ-1)$.

Câu hỏi 18

Tìm số tập con hai phần tử $\{a,b\}$ của $\{1,2,3,\ldots,99,100\}$ sao cho $ab+a+b$ là bội của $7$.

Câu hỏi 19

Cho số thực $x$ thỏa mãn $x^2-15x+1=0$. Tính $x^4+\dfrac1{x^4}$.

Câu hỏi 20

Trong hình, tam giác $ABC$ có $AB=10$ cm, $BC=40$ cm. Các điểm $D,E$ trên $AC$, $F$ trên $BC$ sao cho $EF\parallel AB$, $DF\parallel EB$. Biết $BE$ phân giác $\angle ABC$, $AD=13.5$ cm, tính $CD$ theo cm.

Hình minh họa câu hỏi