SMO 2009 - Open - Vòng 2

Gọi $O$ là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi $ABCD$. Chọn các điểm $E,F,G,H$ lần lượt trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ sao cho $EF,GH$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp. Chứng minh $EH$ và $FG$ song song.

Điều kiện bổ sung do biên tập: lời giải nguồn dùng các điểm nằm trong cạnh và các tiếp tuyến không suy biến cắt bỏ các góc $B,D$. Nếu cho phép đầu mút và tiếp tuyến trùng với cạnh, phát biểu theo nghĩa đen có thể sai. Đề gốc được giữ nguyên; dưới đây là chứng minh trên miền dự định cùng phản ví dụ ở đầu mút. Câu này cần được duyệt.

Một số đối xứng là số không thay đổi khi đảo ngược thứ tự các chữ số. Chứng minh cấp số cộng $18,37,\ldots$ chứa vô hạn số đối xứng.

Với số nguyên dương $k$, xác định $A_n$ cho $n=1,2,\ldots$ bởi
$$A_{n+1}=\frac{nA_n+2(n+1)^{2k}}{n+2},\qquad A_1=1.$$
Chứng minh $A_n$ nguyên với mọi $n\ge1$, và $A_n$ lẻ khi và chỉ khi $n\equiv1$ hoặc $2\pmod4$.

Tìm hằng số $C$ lớn nhất sao cho
$$\sum_{i=1}^4\left(x_i+\frac1{x_i}\right)^3\ge C$$
với mọi số thực dương $x_1,\ldots,x_4$ thỏa mãn
$$x_1^3+x_3^3+3x_1x_3=x_2+x_4=1.$$

Tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ với $2\le x\le y\le z$ sao cho
$$xy\equiv1\pmod z,\qquad xz\equiv1\pmod y,\qquad yz\equiv1\pmod x.$$