Đặt $S=\{s_{0}, \ldots, s_{n}\}$ là một tập hữu hạn các số nguyên và xác định $S+k=\{s_{0}+k, \ldots, s_{n}+k\}$. Chúng ta nói rằng $S$ và $T$ là tương đương, được viết là $S \sim T$, nếu $T=S+k$ đối với một số $k$. Cho một tập hợp số nguyên $A$ (có thể là vô hạn), chúng ta nói rằng $S$ xếp lớp $A$ nếu $A$ có thể được phân chia thành các tập con tương đương với $S$. Phân vùng như vậy được $S$ gọi là ốp lát $A$.
Giả sử $S$ xếp tập hợp các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng $S$ chỉ có một phần tử.
Đặt $S=\{s_{0}, \ldots, s_{n}\}$ là một tập hữu hạn các số nguyên và xác định $S+k=\{s_{0}+k, \ldots, s_{n}+k\}$. Chúng ta nói rằng $S$ và $T$ là tương đương, được viết là $S \sim T$, nếu $T=S+k$ đối với một số $k$. Cho một tập hợp số nguyên $A$ (có thể là vô hạn), chúng ta nói rằng $S$ xếp lớp $A$ nếu $A$ có thể được phân chia thành các tập con tương đương với $S$. Phân vùng như vậy được $S$ gọi là ốp lát $A$.
Tìm tất cả các bộ $S$ có phần tử nhỏ nhất $1$ xếp lớp $A=\{1, \ldots, 12\}$.
Thể tích của một hình lập phương (tính bằng inch khối) cộng với ba lần tổng chiều dài các cạnh của nó (tính bằng inch) sẽ bằng hai lần diện tích bề mặt của nó (tính bằng inch vuông). Đường chéo dài của nó dài bao nhiêu inch?
Năm người có chiều cao khác nhau đang đứng xếp hàng từ thấp nhất đến cao nhất. Khi điều đó xảy ra, đỉnh đầu của họ đều thẳng hàng; Ngoài ra, đối với hai người liên tiếp bất kỳ, khoảng cách theo chiều ngang giữa họ bằng chiều cao của người thấp hơn. Nếu người thấp nhất cao 3 feet và người cao nhất cao 7 feet thì người ở giữa cao bao nhiêu tính bằng feet?
Một trăm người đang xếp hàng để xem phim. Mỗi người muốn ngồi ở hàng ghế đầu, có một trăm chỗ ngồi, và mỗi người có một chỗ ngồi yêu thích, được chọn ngẫu nhiên và độc lập. Họ lần lượt vào hàng từ ngoài cùng bên phải. Khi đi, nếu đến chỗ ngồi ưa thích thì ngồi, nhưng để tránh dẫm phải người, nếu gặp người đã ngồi sẵn thì ngồi bên phải người đó. Nếu ghế xa nhất bên phải đã có người ngồi, họ sẽ ngồi ở hàng khác. Số người có khả năng nhất sẽ được ngồi ở hàng đầu tiên là bao nhiêu?
Tam giác $ABC$ có $AB=1$, $BC=\sqrt{7}$ và $CA=\sqrt{3}$. Đặt $\ell_1$ là đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $AB$, $\ell_2$ là đường thẳng đi qua $B$ vuông góc với $AC$ và $P$ là điểm giao nhau của $\ell_1$ và $\ell_2$. Tìm $PC$.
Đặt $k$ là một số nguyên sao cho $k \mid a$ và $k \mid b$. Chứng minh rằng nếu một hình chữ nhật $m \times n$ có thể xếp được $(a, b)$ thì $2k \mid m$ hoặc $2k \mid n$.
Tìm
$$
\{\ln (1+e)\}+\left\{\ln \left(1+e^{2}\right)\right\}+\left\{\ln \left(1+e^{4}\right)\right\}+\left\{\ln \left(1+e^{8}\right)\right\}+\cdots,
$$
trong đó $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ biểu thị phần phân số của $x$.
Trong tam giác $ABC$, $AC = 3 AB$. Cho $AD$ chia đôi góc $A$ với $D$ nằm trên $BC$, và $E$ là chân đường vuông góc từ $C$ đến $AD$. Tìm $[ABD]/[CDE]$. (Ở đây, $[XYZ]$ biểu thị diện tích của tam giác $XYZ$.)
Hai đỉnh của hình lập phương được cho trong không gian. Quỹ tích các điểm có thể là đỉnh thứ ba của hình lập phương là hợp của các đường tròn $n$. Tìm $n$.
Trong mặt phẳng, cho một hình bát giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ sao cho không có ba đường chéo nào đồng quy. Mỗi điểm giao nhau của hai đường chéo của hình bát giác được gọi là hình chữ thập.
Xét các tứ giác lồi có các đỉnh là các đỉnh của hình bát giác đã cho. Mỗi tứ giác như vậy được gọi là một tứ giác con.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho có thể tô màu các đường chéo $n$ sao cho với mọi $i, k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ và $i \ne k$, nếu chúng ta biểu thị bằng $s(i, k)$ thì số lượng
các tứ giác con thừa nhận $A_i, A_k$ là các đỉnh và thừa nhận một chữ thập màu là giao điểm của các đường chéo thì các giá trị $s(i, k)$ đều bằng nhau.
Trong mặt phẳng, cho đường tròn cố định $(O)$ có bán kính $R$, hai điểm cố định $A$, $B$ trên đường tròn $(O)$ sao cho $A$, $B$, $O$ không thẳng hàng.
Giả sử $C$ là một điểm trên $(O)$ khác với $A$ và $B$. Dựng đường tròn $(O_1)$ đi qua $A$, tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại $C$, dựng đường tròn $(O_2)$ đi qua $B$, tiếp xúc với đường thẳng $AC$ tại $C$. Đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ lại cắt nhau tại $D$ khác với $C$.
Chứng minh rằng
$$
i) \, CD \le R;$$
$$ii) \text{dòng} CD \text{đi qua một điểm cố định khi} C \text{tiếp tục} (O) \text{vậy đó} C \text{không trùng với} A \text{và} B.$$
($(O)$ biểu thị đường tròn có tâm $O$.)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
$$
P = x + y
$$
trong đó $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện
$$
x - 3\sqrt{x + 1} = 3\sqrt{y + 2} - y.
$$
Tìm tất cả các hàm $f$ được xác định trên $\mathbb{R}$, lấy các giá trị trong $\mathbb{R}$ sao cho
$$
f(f(x - y)) = f(x)f(y) - f(x) + f(y) - xy
$$
với mọi số thực $x, y$.