Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2005

Một dãy hình lục giác được ghép bằng que theo mẫu dưới đây.



Nếu dùng 200 que thì đã tạo được bao nhiêu hình lục giác?

Chú giải: sticks = que; các số ở sáu bước đầu là 6, 11, 15, 20, 23, 27.

Có các đồng tiền mệnh giá 1, 2, 5 và 10 đô la. Có bao nhiêu cách đổi thành 50 đô la?

Giả sử có đủ tiền mỗi mệnh giá. Đếm các bộ số lượng đồng tiền, không phân biệt thứ tự của cùng những đồng tiền đó.

Điền các chữ số từ 1 đến 7 vào lưới sao cho mỗi chữ số xuất hiện đúng một lần trong từng hàng và từng cột. Mỗi số trong vòng tròn là tích của bốn chữ số ở bốn ô quanh vòng tròn đó.

Nguồn kèm ví dụ 4×4 đã điền để minh họa quy tắc và lưới bài toán 7×7 còn trống:

Dãy Fibonacci là
$$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=2,\quad F_4=3,\quad F_5=5,\quad F_6=8,\quad F_7=13,\ldots$$
Hai số đầu đều bằng 1; từ đó, mỗi số bằng tổng hai số ngay trước. Chữ số tận cùng của tổng 2005 số Fibonacci đầu tiên là bao nhiêu?

Ném bốn phi tiêu vào bảng điểm như hình. Cộng điểm bốn lần ném; ném trượt được 0 điểm. Tổng điểm nguyên dương nhỏ nhất không thể đạt được là bao nhiêu?

Trong 20 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số biểu diễn được thành tổng của hai số nguyên tố khác nhau? (Chú ý: 1 không phải số nguyên tố.)

Một con kiến ở một đỉnh của hình bát diện có cạnh dài 1 m. Kiến đi theo các cạnh rồi trở lại đỉnh ban đầu, không đi qua bất kỳ điểm nào khác hai lần. Hành trình dài nhất như vậy dài bao nhiêu?

Khi chia 2005 cho số nguyên dương $N$, số dư là 10. Có tất cả bao nhiêu giá trị có thể của $N$?

Mỗi dây trong bốn dây ở hình chia diện tích hình tròn theo tỉ số $1:3$. Các giao điểm của những dây này là các đỉnh của một hình vuông. Tỉ số diện tích miền $P$ và miền $Q$ là bao nhiêu?

Một số nguyên dương $N$ bằng 17 lần tổng các chữ số của nó. Tìm $N$.

Có 64 đội bóng tham gia giải. Ban đầu chia thành 8 bảng, mỗi bảng 8 đội. Trong mỗi bảng thi đấu loại trực tiếp (đội thua một trận bị loại). Đội nhất mỗi bảng sau đó gặp mỗi đội nhất bảng khác đúng một lần để chọn nhà vô địch. Cần thi đấu bao nhiêu trận?

Một ô tô chạy với tốc độ 60 km/h thì đi hết một quãng đường trong 18 phút. Để đi cùng quãng đường đó trong 15 phút, xe cần tốc độ trung bình bao nhiêu kilômét mỗi giờ?

Hình gồm hai hình vuông chồng lên nhau. Phần tô nhạt chiếm $\frac{73}{75}$ diện tích hình vuông lớn; phần tô đậm chiếm $\frac{14}{15}$ diện tích hình vuông nhỏ. Tỉ số diện tích hình vuông nhỏ và hình vuông lớn là bao nhiêu?

Từ bốn số, chọn ba số để lấy trung bình cộng rồi cộng thêm số thứ tư. Có bốn cách làm, mỗi lần để riêng một số khác nhau. Bốn kết quả là 64, 70, 78 và 84. Số lớn nhất trong bốn số ban đầu là bao nhiêu?

Một hình bát diện bị cắt bỏ tất cả các đỉnh như hình. Khối mới có bao nhiêu cạnh?

Năm chữ số cuối của tổng sau là gì? Số hạng cuối có 2005 chữ số 3.
$$3+33+333+\cdots+\underbrace{333\cdots333}_{2005}\,?$$

Cần ít nhất bao nhiêu hình chữ nhật kích thước 6 cm × 8 cm để ghép thành một hình chữ nhật lớn có tỉ số hai cạnh $5:3$?

Hướng dẫn nguồn: 20 câu; mỗi đáp án đúng được 2 điểm. Ghi đáp án vào phiếu trả lời. Thời gian: 60 phút.

Một quỹ dành một khoản tiền cho giải nhất, nhì và ba trong cuộc thi. Tiền được chia theo tỉ số 3:2; phần lớn dành cho giải nhất, phần nhỏ lại chia theo tỉ số 3:2 lần lượt cho giải nhì và ba. Giải ba ít hơn giải nhất 3300 đô la. Giải nhì được bao nhiêu tiền?

Ba người đàn ông và ba trẻ em tới một con sông. Chiếc thuyền nhỏ chỉ chở được một người lớn hoặc hai trẻ em. Ít nhất cần bao nhiêu chuyến qua sông, tính cả hai chiều, để cả nhóm sang bờ bên kia?

Ông Sun có máy tính hỏng. Khi bật lên, máy hiện 0. Phím + cộng 35, phím − trừ 35, phím × cộng 91 và phím ÷ trừ 91. Các phím khác không hoạt động. Ông bật máy lên. Số gần 2005 nhất mà máy có thể cho là bao nhiêu?