IMSO 2005 Toán học — Tuyển chọn Đài Loan, tự luận

Hình chữ nhật PQRS có $PQ=45$ và $PS=100$, được chia thành 4500 hình vuông cạnh 1. Điểm T thuộc QR và $QT=60$. Trong 4500 hình vuông đó, có bao nhiêu hình bị các đoạn thẳng PT và TS cắt qua? (Không tính một hình vuông là bị cắt nếu đường thẳng chỉ đi qua các đỉnh mà không đi qua phần trong của hình vuông.)

Một cuộc thi toán gồm 25 bài. Mỗi câu trả lời đúng được 8 điểm, mỗi câu trả lời sai được 0 điểm, còn mỗi câu không trả lời được 3 điểm. Tom đạt 121 điểm. Số câu trả lời sai ít nhất mà Tom có thể có là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nhỏ hơn 1000 mà tích các chữ số bằng 63?

Có thể vẽ bao nhiêu tam giác có các đỉnh là những điểm trong hình?

Các số nguyên 1, 2, 3, …, 2005 được viết trên bảng. Cần xóa ít nhất bao nhiêu số để tích các số còn lại có chữ số tận cùng là 8?

Có thể lập bao nhiêu số nhỏ hơn 4000 từ các chữ số 2, 3, 4, 5 và 6, nếu trong mỗi số không chữ số nào được dùng quá một lần?

Trong một giải bóng đá, tám đội thi đấu với nhau, mỗi cặp đúng một trận. Đội thắng được hai điểm, hòa được một điểm, thua được không điểm. Một đội phải đạt bao nhiêu điểm để chắc chắn thuộc ba đội đứng đầu (nghĩa là có số điểm nhiều hơn ít nhất năm đội khác)?

Hai người chơi luân phiên chọn trong 25 quân, mỗi quân ghi một số lẻ khác nhau từ 1 đến 49. Khi một người chọn quân ghi X, người tiếp theo phải chọn quân ghi ước lẻ lớn nhất của $99-X$. Dù quân đầu tiên được chọn là quân nào, khi trò chơi kết thúc luôn còn lại ít nhất bao nhiêu quân?

Mười điểm P, Q, R, …, Y nằm cách đều nhau trên đường tròn bán kính 1. Hiệu độ dài của hai đoạn thẳng PQ và PS bằng bao nhiêu?

Trong hình, PQR là tam giác đều với $PR=RQ=PQ=5$. Nếu $PL=RN=QM=1$, tỉ số diện tích tam giác LMN và diện tích tam giác PQR bằng bao nhiêu?