IMSO 2005 Toán học tại Đài Loan – Trả lời ngắn

Trong 20 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số biểu diễn được thành tổng của hai số nguyên tố khác nhau? (Chú ý: 1 không phải số nguyên tố.)

Một con kiến ở một đỉnh của hình bát diện có cạnh dài 1 m. Kiến đi theo các cạnh rồi trở lại đỉnh ban đầu, không đi qua bất kỳ điểm nào khác hai lần. Hành trình dài nhất như vậy dài bao nhiêu?

Khi chia 2005 cho số nguyên dương $N$, số dư là 10. Có tất cả bao nhiêu giá trị có thể của $N$?

Mỗi dây trong bốn dây ở hình chia diện tích hình tròn theo tỉ số $1:3$. Các giao điểm của những dây này là các đỉnh của một hình vuông. Tỉ số diện tích miền $P$ và miền $Q$ là bao nhiêu?

Một số nguyên dương $N$ bằng 17 lần tổng các chữ số của nó. Tìm $N$.

Có 64 đội bóng tham gia giải. Ban đầu chia thành 8 bảng, mỗi bảng 8 đội. Trong mỗi bảng thi đấu loại trực tiếp (đội thua một trận bị loại). Đội nhất mỗi bảng sau đó gặp mỗi đội nhất bảng khác đúng một lần để chọn nhà vô địch. Cần thi đấu bao nhiêu trận?

Một ô tô chạy với tốc độ 60 km/h thì đi hết một quãng đường trong 18 phút. Để đi cùng quãng đường đó trong 15 phút, xe cần tốc độ trung bình bao nhiêu kilômét mỗi giờ?

Hình gồm hai hình vuông chồng lên nhau. Phần tô nhạt chiếm $\frac{73}{75}$ diện tích hình vuông lớn; phần tô đậm chiếm $\frac{14}{15}$ diện tích hình vuông nhỏ. Tỉ số diện tích hình vuông nhỏ và hình vuông lớn là bao nhiêu?

Từ bốn số, chọn ba số để lấy trung bình cộng rồi cộng thêm số thứ tư. Có bốn cách làm, mỗi lần để riêng một số khác nhau. Bốn kết quả là 64, 70, 78 và 84. Số lớn nhất trong bốn số ban đầu là bao nhiêu?

Một hình bát diện bị cắt bỏ tất cả các đỉnh như hình. Khối mới có bao nhiêu cạnh?

Năm chữ số cuối của tổng sau là gì? Số hạng cuối có 2005 chữ số 3.
$$3+33+333+\cdots+\underbrace{333\cdots333}_{2005}\,?$$

Cần ít nhất bao nhiêu hình chữ nhật kích thước 6 cm × 8 cm để ghép thành một hình chữ nhật lớn có tỉ số hai cạnh $5:3$?