IMSO 2005 Toán - Quốc tế - Tự luận

John cho Alex $\frac16$ số bi của mình và cho Simon 20 viên bi. Sau đó John còn 55 viên bi. Ban đầu John có bao nhiêu viên bi?

Tổng số vịt và gà trong vườn là 335 con. Nếu số gà bằng $\frac23$ số vịt thì trong vườn có bao nhiêu con gà?

Ông Sweet có ba loại sách: 120 cuốn toán, 144 cuốn sinh học và 100 cuốn vật lý. Ông định tặng tất cả số sách cho các trường trong làng sao cho các trường nhận được số sách của từng môn như nhau. Nhiều nhất có bao nhiêu trường nhận được sách của ông Sweet?

Jerry đi xe máy với vận tốc 60 km/giờ, còn Tom đi xe máy với vận tốc 45 km/giờ, cùng chiều và cùng điểm xuất phát. Jerry khởi hành muộn hơn Tom $1\frac13$ giờ. Từ lúc Jerry khởi hành, mất bao lâu để Jerry đuổi kịp Tom?

Một con kiến di chuyển trên bề mặt hình lập phương từ đỉnh A đến đỉnh B. Hãy vẽ đường ngắn nhất từ A đến B mà kiến đi qua.

Jack và Ben đi xe đạp từ A đến B. Jack đi với vận tốc 15 km/giờ, còn Ben đi với vận tốc 12 km/giờ. Ben đi hết quãng đường lâu hơn Jack 15 phút. Khoảng cách giữa A và B là bao nhiêu?

Một học sinh làm thí nghiệm so sánh tuổi thọ của hai loại bóng đèn và thu được các kết quả sau:

a. Tuổi thọ các bóng đèn loại A là 140, 125, 135, 141, 135, 142 và 123 ngày.

b. Tuổi thọ các bóng đèn loại B là 135, 125, 145, 122 và 139 ngày.

Loại bóng đèn nào có tuổi thọ cao hơn? Vì sao?

Sáu đường tròn trong hình được buộc bằng một sợi dây. Bán kính mỗi đường tròn là 7 cm. Tính độ dài sợi dây. Dùng $\pi=\frac{22}{7}$.

Barbara viết các số gồm bốn chữ số 3, 5, 7 và 9 theo các quy tắc sau:

- Chữ số 7 không ở vị trí đầu hoặc cuối.
- Chữ số 7 phải ở bên phải chữ số 5. (Ví dụ, trong số 7395, chữ số 5 ở bên phải các chữ số 7, 3 và 9.)

Tìm tất cả các số thỏa mãn.

Hai tam giác nằm trong hai đường tròn bằng nhau ở Hình A và Hình B dưới đây đều là tam giác đều. Diện tích tam giác ở Hình A là $1\text{ cm}^2$. Tìm diện tích tam giác ở Hình B.

Các trang của một cuốn sách được đánh số từ trang 1 và dùng tất cả 840 chữ số. Cuốn sách có bao nhiêu trang? (Ví dụ, số trang 37 dùng hai chữ số là 3 và 7. Đánh số từ trang 1 đến trang 11 dùng mười ba chữ số.)

Có bao nhiêu số tự nhiên dương nhỏ hơn 2005 vừa bằng tổng của hai số tự nhiên liên tiếp, vừa bằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp? (Ví dụ, 21 = 10 + 11 = 6 + 7 + 8.)

Trong hình, ABCD là hình thang có hai cạnh song song $AD=8$ cm, $BC=14$ cm và hai cạnh không song song $AB=8$ cm, $CD=12$ cm. Kẻ EF song song với BC sao cho hai hình thang tạo thành có chu vi bằng nhau. Độ dài CF là bao nhiêu?