IMSO 2005 Toán - Quốc tế - Trả lời ngắn

Điền vào tam giác kỳ diệu sao cho tổng các số trên mỗi cạnh bằng nhau. Dùng mỗi số 5, 6, 7, 8, 9 và 10 đúng một lần. Chỉ cần nêu một cách điền.

Tầng trệt của một tòa nhà cao 4 m. Mỗi tầng còn lại cao 3 m. Tổng chiều cao tòa nhà là 61 m. Tính cả tầng trệt, tòa nhà có bao nhiêu tầng?

Công thức bánh Scotty cho 6 phần ăn được cho dưới đây. Cần bao nhiêu bột gạo để làm bánh cho 10 phần ăn?

Thẻ công thức ghi: $\frac34$ kg bột gạo; 45 gam bơ thực vật; 4 quả trứng; 220 gam đường; 300 ml bơ thực vật; $\frac12$ thìa cà phê vani. Mục bơ thực vật thứ hai tuy khác thường vẫn được giữ đúng bản in. Trả lời lượng bột gạo theo kilôgam.

Một số nguyên dương $B$ khi chia cho 2, 3, 4, 6 hoặc 9 đều dư 1. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $B$.

Trong 5 tháng đầu năm 2004, một công ty bị lỗ; 7 tháng còn lại có lãi. Mức lỗ lớn nhất là 10 triệu rupiah vào tháng 3. Lợi nhuận thấp nhất là 9 triệu rupiah vào tháng 6 và cao nhất là 15 triệu rupiah vào tháng 10. Lợi nhuận cả năm 2004 ít nhất là bao nhiêu?

Điểm trung bình bài kiểm tra toán của lớp 48 học sinh là 80. Điểm của hai học sinh được điều chỉnh: một điểm từ 86 thành 93, điểm còn lại từ 85 thành 84. Điểm trung bình mới là bao nhiêu?

Bà Olmer trả lương cho nhân viên vào thứ Tư đầu tiên mỗi tháng. Bà đến ngân hàng lấy tiền trả lương vào thứ Ba đầu tiên mỗi tháng. Một sáng thứ Tư, bà nhận ra đã đến ngày trả lương nhưng chưa đến ngân hàng lấy tiền. Ngày mùng 5 của tháng đó là thứ mấy?

Hình dưới gồm bốn đường tròn bằng nhau. Mỗi đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn kề nó. Bán kính mỗi đường tròn là 10 cm. Tính diện tích phần tô đậm theo xentimét vuông.

Ông White nhân 100 số nguyên tố đầu tiên với nhau. Tích thu được có bao nhiêu chữ số 0 liên tiếp ở tận cùng?

A, B và C là các số nguyên không âm nhỏ hơn 10 và thỏa phép nhân dưới đây: $\overline{5A}\times B=\overline{1C4}$. Tìm một bộ giá trị của A, B và C.

Andy nhân 50 số nguyên dương đầu tiên: $1\times2\times3\times\cdots\times50$. Đếm từ phải sang, chữ số khác 0 đầu tiên nằm ở vị trí thứ mấy? Ví dụ, với 205000, chữ số khác 0 đầu tiên từ phải sang nằm ở vị trí thứ 4.

Một đường đua xe đạp hình tròn dài 1 km. Dodi đi 2 vòng với vận tốc 30 km/giờ. Muốn vận tốc trung bình của cả hành trình là 40 km/giờ, bạn phải đi 4 vòng tiếp theo với vận tốc bao nhiêu km/giờ?

Mỗi chữ biểu thị một số nguyên từ 1 đến 9. Các chữ khác nhau biểu thị các số khác nhau. Tìm số có bốn chữ số STNA, biết $4\times\overline{ANTS}=\overline{STNA}$.

Các ô trong bảng chứa các số nguyên 1, 2, 3, …, 9, mỗi số đúng một lần. Các số ở bên phải và phía dưới là tích các số của hàng và cột tương ứng. Tìm số được biểu thị bằng dấu “*”.

Tỉ số giữa một góc trong và một góc ngoài của đa giác đều là 5 : 1. Tìm số cạnh của đa giác.

Hình vẽ cho mũi tên dài 14 cm ở vị trí ban đầu. Mũi tên quay theo chiều kim đồng hồ 7 vòng trọn và thêm $202{,}5^\circ$. Tính độ dài đường đi của đầu mũi tên theo xentimét. Dùng $\pi=\frac{22}{7}$. Các nhãn “Region 1” đến “Region 4” trong hình lần lượt nghĩa là Vùng 1 đến Vùng 4.

Một mặt phẳng đi qua đỉnh A và cắt hình lập phương thành hai phần. Nếu thiết diện là tam giác đều, có bao nhiêu cách cắt?

Hyde có một số kẹo. Mỗi ngày, bạn ăn một nửa số kẹo còn lại từ hôm trước rồi ăn thêm một chiếc. Sau 5 ngày, bạn đã ăn hết kẹo. Ban đầu Hyde có bao nhiêu chiếc kẹo?

Số N có các tính chất sau:
(a) Có 4 chữ số, mỗi chữ số nhỏ hơn 7.
(b) Là số chính phương.
(c) Cộng thêm 3 vào mỗi chữ số thì được một số chính phương khác.
Tìm N.

Một tờ giấy vuông kích thước 12 cm × 12 cm được gấp, cắt rồi mở ra như hình. Biết $AE:EB=5:3$, tính diện tích phần tô đậm theo xentimét vuông. Chữ “cut” chỉ đường cắt ED.