IMSO 2005 Toán học – Tuyển chọn Đài Loan – Khám phá

Một dãy hình lục giác được ghép bằng que theo mẫu dưới đây.



Nếu dùng 200 que thì đã tạo được bao nhiêu hình lục giác?

Chú giải: sticks = que; các số ở sáu bước đầu là 6, 11, 15, 20, 23, 27.

Có các đồng tiền mệnh giá 1, 2, 5 và 10 đô la. Có bao nhiêu cách đổi thành 50 đô la?

Giả sử có đủ tiền mỗi mệnh giá. Đếm các bộ số lượng đồng tiền, không phân biệt thứ tự của cùng những đồng tiền đó.

Điền các chữ số từ 1 đến 7 vào lưới sao cho mỗi chữ số xuất hiện đúng một lần trong từng hàng và từng cột. Mỗi số trong vòng tròn là tích của bốn chữ số ở bốn ô quanh vòng tròn đó.

Nguồn kèm ví dụ 4×4 đã điền để minh họa quy tắc và lưới bài toán 7×7 còn trống:

Dãy Fibonacci là
$$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=2,\quad F_4=3,\quad F_5=5,\quad F_6=8,\quad F_7=13,\ldots$$
Hai số đầu đều bằng 1; từ đó, mỗi số bằng tổng hai số ngay trước. Chữ số tận cùng của tổng 2005 số Fibonacci đầu tiên là bao nhiêu?

Ném bốn phi tiêu vào bảng điểm như hình. Cộng điểm bốn lần ném; ném trượt được 0 điểm. Tổng điểm nguyên dương nhỏ nhất không thể đạt được là bao nhiêu?