MathNet 2023-part-05 — 191 bài (EN–VI)

Cho $M \ge 1$ là một số thực. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại các số tự nhiên đôi một phân biệt $a, b, c \gt M$ thỏa mãn
$$
n = (a, b) \cdot (b, c) + (b, c) \cdot (c, a) + (c, a) \cdot (a, b)
$$
(trong đó $(x, y)$ kí hiệu ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên $x$ và $y$).

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $\angle B \gt \angle C$. Xét các điểm $D, E, J, K, S$ trên đường tròn ngoại tiếp $C(O)$ của tam giác sao cho $A, E, J$ và $K$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $BC$, đường kính $DE$ vuông góc với đường thẳng $BC$, $S \in \widehat{EK}$ và $\widehat{AE} = \widehat{BJ} = \widehat{CK} = \frac{1}{4}\widehat{CE}$. Gọi $F, M, P, Q$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $AC$ và $DE$, $BK$ và $AD$, $BK$ và $AC$, $CJ$ và $BF$. Nếu $\angle SMK = 30^\circ$ và $\angle AQP = 90^\circ$, chứng minh rằng đường thẳng $MS$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOF$.
Dana Heuberger

Cho hình thang $ABCD$ với đáy nhỏ $AB$. Dựng ra phía ngoài hình thang các hình vuông $ADEF$ và $BCGH$. Chứng minh rằng đường trung trực của $AB$ đi qua trung điểm của $FH$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và tất cả các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa mãn $x^3 + y^3 = p(xy + p)$.

Cho số nguyên $n \ge 3$. Gọi $S$ là một tập gồm $n$ điểm trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với các điểm đôi một phân biệt $A, B, C$ thuộc $S$, tam giác $ABC$ được gọi là *phù hợp* với $AB$ nếu diện tích $ABC \le$ diện tích $ABX$ với mọi $X$ thuộc $S$ khác $A$ và $B$. (Chú ý rằng với một đoạn thẳng $AB$ có thể có nhiều tam giác phù hợp.) Một tam giác được gọi là *thỏa đáng* nếu các đỉnh của nó đều thuộc $S$ và nó phù hợp với ít nhất hai cạnh của nó. Chứng minh rằng có ít nhất $\frac{1}{2}(n-1)$ tam giác thỏa đáng.
Bulgaria, Alexadar Ivanov

Cho số nguyên $n \ge 2$ và $f$ là một đa thức $4n$ biến với hệ số thực sao cho với mọi $2n$ điểm $(x_1, y_1), \dots, (x_{2n}, y_{2n})$ trong mặt phẳng tọa độ,
$$
f(x_1, y_1, \dots, x_{2n}, y_{2n}) = 0
$$
khi và chỉ khi chúng là các đỉnh của một đa giác đều $2n$ cạnh theo một thứ tự nào đó, hoặc tất cả trùng nhau. Tìm bậc nhỏ nhất có thể của $f$.

Cho tam giác $ABC$ với $H$ và $O$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$. Gọi $\ell$ là một đường thẳng đi qua $O$, và $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ và $C$ lên $\ell$. Chứng minh rằng $KP + KQ \ge BC$.

Cho $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ và $S(x)$ là các đa thức khác hằng với hệ số thực sao cho $P(Q(x)) = R(S(x))$. Chứng minh rằng nếu bậc của $P(x)$ chia hết cho bậc của $R(x)$ thì $P(x) = R(T(x))$ với $T(x)$ là một đa thức hệ số thực nào đó.

Cho $\Gamma$ là một đồ thị liên thông có $r + g + b + 1$ đỉnh. Các cạnh của $\Gamma$ được tô bởi ba màu: đỏ, xanh lá và xanh lam. Biết rằng $\Gamma$ có một cây khung với đúng $r$ cạnh đỏ, một cây khung với đúng $g$ cạnh xanh lá, và một cây khung với đúng $b$ cạnh xanh lam. Chứng minh rằng $\Gamma$ có một cây khung với đúng $r$ cạnh đỏ, đúng $g$ cạnh xanh lá và đúng $b$ cạnh xanh lam.

Số nguyên dương $n$ là một số chính phương. Tìm thương của phép chia $2023$ cho $n$, biết rằng số dư là $223 - \frac{3}{2} \cdot n$.

Tìm tất cả các số có bốn chữ số $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}$, $\overline{cb}$ và $d$ là các số nguyên tố, và $\overline{ab}^2 + \overline{cb}^2 + d^2 = 2022$.

Một số nguyên dương được gọi là *đặc biệt* nếu mọi chữ số của nó đều khác 0 và hai chữ số kề nhau bất kì là hai số liên tiếp (không nhất thiết theo thứ tự tăng).
a) Tìm số đặc biệt lớn nhất có tổng các chữ số bằng $2023$.
b) Tìm số đặc biệt nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng $2022$.

Một cửa hàng đã bán 235 con rô-bốt trong mười hai tháng. Mỗi tháng cửa hàng bán được 16, 20 hoặc 25 con rô-bốt. Tìm số tháng mà cửa hàng bán được đúng 20 con rô-bốt.

Ta nói 13 số nguyên dương tạo thành một nhóm *đặc biệt* nếu các số trong nhóm là các số liên tiếp.

a) Xác định số nhóm đặc biệt có tổng các phần tử là một số chính phương có ba chữ số.

b) Tìm số lớn nhất các số nguyên tố trong một nhóm đặc biệt.

Tìm các số tự nhiên $m, n$ sao cho
$$
n \cdot (n + 1) = 3^m + s(n) + 1182,
$$
trong đó $s(n)$ là tổng các chữ số của số nguyên dương $n$.

Trên bảng người ta viết liên tiếp tất cả các số nguyên dương từ $1$ đến $30000$, tạo thành dãy chữ số sau:
$123456789101112\ldots30000$.
Tìm số lần xuất hiện của $2023$ trong dãy này.

Ta nói số tự nhiên $n \ge 2$ là *đẹp* nếu trong phân tích ra thừa số nguyên tố của nó có một thừa số nguyên tố với số mũ 3.

a) Xác định số tự nhiên $N$ nhỏ nhất sao cho dù chọn $N$ số tự nhiên liên tiếp thế nào đi nữa, có ít nhất một số trong chúng là số đẹp.

b) Tìm 15 số tự nhiên liên tiếp nhỏ nhất $a_1, a_2, \dots, a_{15}$ không phải là số đẹp nhưng tổng $5a_1 + 5a_2 + \dots + 5a_{15}$ là số đẹp.

Tìm tất cả các dãy tỉ số bằng nhau dạng $\frac{a_1}{a_2} = \frac{a_3}{a_4} = \frac{a_5}{a_6} = \frac{a_7}{a_8}$ thỏa mãn các điều kiện:
- tập hợp $\{a_1, a_2, \dots, a_8\}$ là tập hợp các ước nguyên dương của $24$;
- giá trị chung của các tỉ số là một số nguyên.

Các phần tử của tập hợp $A$ là 13 số nguyên dương liên tiếp, các phần tử của tập hợp $B$ là 12 số nguyên dương liên tiếp, và các phần tử của tập hợp $A \cup B$ là 15 số nguyên liên tiếp.
a) Tìm số phần tử của $A \setminus B$.
b) Nếu thêm vào đó tổng các phần tử của tập $A$ bằng tổng các phần tử của tập $B$, hãy tìm hai tập hợp đó.

Tam giác $ABC$ cân với $AB = AC$ và $\angle ABC = 72^\circ$. Lấy điểm $D$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $C$ nằm trên đoạn $BD$ và $CD = AB$.

a) Chứng minh rằng $AC$ là tia phân giác của góc $\angle BAD$.

b) Lấy điểm $E$ trên đường thẳng qua $D$ song song với $AB$, cùng phía với $A$ đối với $BD$, sao cho $DE = DB$. Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $AD$ và $BE$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AC$ và $AE$ vuông góc với nhau và $AF = FC = BC$.