MathNet 1995 — Phần 01

Tìm tất cả các hàm có giá trị thực trên các số nguyên dương sao cho $f(x+1019) = f(x)$ cho mọi số nguyên $x$ và $f(xy) = f(x)f(y)$ cho mọi số nguyên $x, y$.

Giả sử $p(n)$ là số nguyên tố lớn nhất chia hết cho $n$. Chứng minh rằng có vô số số nguyên dương $n$ sao cho $p(n) \lt p(n + 1) \lt p(n + 2)$.

Một tứ diện đều có cạnh $L$. $x$ nhỏ nhất là bao nhiêu để khối tứ diện có thể đi qua một vòng dây có chiều dài $x$?

$X$ có các phần tử $n$. $\mathcal{F}$ là một họ các tập con của $X$, mỗi tập có ba phần tử, sao cho hai tập con bất kỳ có nhiều nhất một phần tử chung. Chứng minh rằng có một tập con của $X$ với ít nhất $\lfloor\sqrt{2n}\rfloor$ không chứa bất kỳ thành viên nào của $\mathcal{F}$.

Chứng minh rằng nghiệm thứ $n$ của một số hữu tỉ (đối với $n$ là số nguyên dương) không thể là nghiệm của đa thức $x^5 - x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2$.

Tứ giác $ABCD$ có tâm đường tròn ngoại tiếp là $O$ và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Hai đường chéo cắt nhau tại $S$. Chứng minh rằng nếu hai trong ba điểm $O$, $I$, $S$ trùng nhau thì tứ giác là hình vuông.

Chứng minh rằng nếu cả hai tọa độ đỉnh của một ngũ giác lồi đều là số nguyên thì diện tích của ngũ giác này không nhỏ hơn $\frac{5}{2}$.

Các số thực $a$, $b$ và $c$ thỏa mãn các bất đẳng thức $|a| \geq |b+c|$, $|b| \geq |c+a|$ và $|c| \geq |a+b|$. Chứng minh rằng $a+b+c=0$.

Chứng minh rằng $\sin^{3} 18^{\circ} + \sin^{2} 18^{\circ} = \frac{1}{8}$.

John lớn tuổi hơn Mary. Anh ta nhận thấy rằng nếu đổi chỗ hai chữ số tuổi của mình (một số nguyên), anh ta sẽ có được tuổi của Mary. Hơn nữa, hiệu giữa bình phương tuổi của họ là bình phương của một số nguyên. Mary và John bao nhiêu tuổi?

Chứng minh rằng
$$
\frac{1995}{2}-\frac{1994}{3}+\frac{1993}{4}-\cdots-\frac{2}{1995}+\frac{1}{1996}=\frac{1}{999}+\frac{3}{1000}+\cdots+\frac{1995}{1996} .
$$

Tìm tất cả các bộ ba $(x, y, z)$ của các số nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}=2(y+z) \\
x^{6}=y^{6}+z^{6}+31\left(y^{2}+z^{2}\right)
\end{array}\right.
$$

Cấu trúc sau đây được sử dụng để đào tạo phi hành gia: Một vòng tròn $C_{2}$ có bán kính $2R$ lăn dọc theo bên trong một vòng tròn khác, một vòng tròn cố định $C_{1}$ có bán kính $nR$, trong đó $n$ là một số nguyên lớn hơn $2$. Phi hành gia được gắn chặt vào vòng tròn thứ ba $C_{3}$ bán kính $R$, vòng tròn này lăn dọc theo bên trong vòng tròn $C_{2}$ sao cho điểm tiếp xúc của các vòng tròn $C_{2}$ và $C_{3}$ luôn ở khoảng cách tối đa so với điểm tiếp xúc của các vòng tròn $C_{1}$ và $C_{2}$ (xem Hình 3).

Phi hành gia thực hiện bao nhiêu vòng (so với mặt đất) cùng với vòng tròn $C_{3}$ trong khi vòng tròn $C_{2}$ hoàn thành một vòng quanh bên trong vòng tròn $C_{1}$?


Hình 3

Tìm tất cả các hàm có giá trị thực $f$ được xác định trên tập hợp tất cả các số thực khác 0 sao cho:
(i) $f(1)=1$,
(ii) $f\left(\frac{1}{x+y}\right)=f\left(\frac{1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{y}\right)$ cho tất cả $x, y, x+y$ khác 0,
(iii) $(x+y) f(x+y)=x y f(x) f(y)$ cho tất cả $x, y, x+y$ khác 0.

Trong tam giác $A B C$, gọi $l$ là phân giác của góc ngoài tại $C$. Đường thẳng đi qua trung điểm $O$ của đoạn $A B$ song song với $l$ cắt đường thẳng $A C$ tại $E$. Xác định $|C E|$, nếu $|A C|=7$ và $|C B|=4$.

Giả sử chúng ta có các hộp $95$ và các quả bóng $19$ được phân phối trong các hộp này một cách tùy ý. Chúng tôi lấy sáu quả bóng mới cùng một lúc và đặt chúng vào sáu hộp, mỗi hộp có một quả bóng. Liệu bằng cách lặp lại quá trình này với số lần thích hợp, liệu chúng ta có thể đạt được tình huống trong đó mỗi hộp $95$ chứa số lượng bóng bằng nhau không?

Cho $a$ và $k$ là các số nguyên dương sao cho $a^{2}+k$ chia hết $(a-1) a(a+1)$. Chứng minh rằng $k \geq a$.

Hãy xem xét trò chơi hai người sau đây. Một số viên sỏi được đặt trên bàn. Hai người chơi luân phiên nhau di chuyển. Một nước đi bao gồm việc lấy đi các viên sỏi $x$ trên bàn trong đó $x$ là bình phương của bất kỳ số nguyên dương nào. Người chơi không thể di chuyển sẽ thua. Chứng minh rằng có vô số tình huống ban đầu mà người chơi thứ hai có thể thắng bất kể đối thủ chơi thế nào.

Một đa giác có các đỉnh $2n+1$ được cho trước. Chứng minh rằng có thể ký hiệu các đỉnh và trung điểm của các cạnh của đa giác bằng cách sử dụng tất cả các số $1, 2, \ldots, 4n+2$ sao cho tổng của ba số gán cho mỗi cạnh đều bằng nhau.

Các số nguyên dương $a$, $b$, $c$ là các số nguyên tố cùng nhau theo cặp, $a$ và $c$ là số lẻ và các số thỏa mãn phương trình $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Chứng minh rằng $b + c$ là bình phương của một số nguyên.