Đặt $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm sao cho
(i) Đối với tất cả $x, y \in \mathbb{R}$,
$$
f(x)+f(y)+1 \geq f(x+y) \geq f(x)+f(y)
$$
(ii) Đối với tất cả $x \in [0,1)$, $f(0) \geq f(x)$,
(iii) $-f(-1)=f(1)=1$.
Tìm tất cả các hàm như vậy $f$.
Bạn được cung cấp ba danh sách $A$, $B$ và $C$. Danh sách $A$ chứa các số có dạng $10^{k}$ trong cơ số 10, với $k$ bất kỳ số nguyên nào lớn hơn hoặc bằng $1$. Danh sách $B$ và $C$ chứa các số giống nhau được dịch sang cơ sở $2$ và $5$ tương ứng:
Giả sử $n$ là số nguyên có dạng $a^{2}+b^{2}$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên nguyên tố tương đối và sao cho nếu $p$ là số nguyên tố, $p \leq \sqrt{n}$, thì $p$ chia $a b$. Xác định tất cả $n$ như vậy.
Các cạnh của khối lập phương được dán nhãn từ $1$ đến $12$ một cách tùy ý. Chứng minh rằng không thể có tổng các cạnh ở mỗi đỉnh bằng nhau. Chứng minh rằng chúng ta có thể có được tám đỉnh có tổng bằng nhau nếu một trong các nhãn được đổi thành $13$.
Gọi siêu số nguyên là chuỗi vô hạn các chữ số thập phân: $\ldots d_n \ldots d_3 d_2 d_1$. Cho hai siêu số nguyên $\ldots c_n \ldots c_3 c_2 c_1$ và $\ldots d_n \ldots d_3 d_2 d_1$, tích $\ldots p_n \ldots p_3 p_2 p_1$ của chúng được hình thành bằng cách lấy $p_n \ldots p_3 p_2 p_1$ là chữ số $n$ cuối cùng của tích $c_n \ldots c_3 c_2 c_1$ và $d_n \ldots d_3 d_2 d_1$. Liệu chúng ta có thể tìm được hai siêu số nguyên khác 0 có tích bằng 0 không? Một siêu số nguyên bằng 0 có tất cả các chữ số bằng 0.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a \geq 5$ đều tồn tại các số nguyên $b$ và $c$, $c \geq b \geq a$ sao cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.
Giả sử $p(x)$ là một đa thức có hệ số nguyên sao cho cả hai phương trình $p(x)=1$ và $p(x)=3$ đều có nghiệm nguyên. Phương trình $p(x)=2$ có thể có hai nghiệm số nguyên khác nhau không?
Cho $a \circ b = a + b - a b$. Tìm tất cả các bộ ba $(x, y, z)$ của các số nguyên sao cho $(x \circ y) \circ z + (y \circ z) \circ x + (z \circ x) \circ y = 0$.
Cho $NS$ và $EW$ là hai đường kính vuông góc của đường tròn $\mathcal{C}$. Đường thẳng $l$ tiếp xúc với $\mathcal{C}$ tại điểm $S$. Cho $A$ và $B$ là hai điểm trên $\mathcal{C}$, đối xứng qua đường kính $EW$. Biểu thị các giao điểm của $l$ với các đường $NA$ và $NB$ lần lượt là $A'$ và $B'$. Chứng minh rằng $|SA'| \cdot |SB'| = |SN|^2$.
Ở một vương quốc nọ, nhà vua đã quyết định xây dựng 25 thị trấn mới trên 13 hòn đảo không có người ở để trên mỗi hòn đảo sẽ có ít nhất một thị trấn. Các kết nối phà trực tiếp sẽ được thiết lập giữa bất kỳ cặp thị trấn mới nào trên các hòn đảo khác nhau. Xác định số lượng ít nhất có thể của các kết nối này.
Đảo Kỳ Diệu là nơi sinh sống của Nhím. Mỗi Hedgehog bao gồm ba đoạn có chiều dài đơn vị có một điểm cuối chung, với cả ba góc giữa chúng đều bằng $120^{\circ}$ (xem Hình 3). Cho rằng tất cả Nhím đều nằm phẳng trên đảo và không có con nào chạm vào nhau, chứng minh rằng có hữu hạn số Nhím trên Đảo Kỳ Diệu.
Có bao nhiêu số nguyên dương thoả mãn 3 điều kiện sau:
(i) Tất cả các chữ số của số đều thuộc bộ $\{1,2,3,4,5\}$;
(ii) Giá trị tuyệt đối của chênh lệch giữa hai chữ số liên tiếp bất kỳ là $1$;
(iii) Số nguyên có chữ số $1994$?
Một tam giác đều được chia thành các tam giác đều $9000000$ bằng các đường thẳng song song với các cạnh của nó. Mỗi đỉnh của các hình tam giác nhỏ được tô bằng một trong ba màu. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là các đỉnh của một tam giác có cạnh song song với các cạnh của tam giác ban đầu.
