Cho $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ là ba điểm trong máy bay, và để thuận tiện, hãy để $A_{4}=A_{1}$, $A_{5}=A_{2}$. Đối với $n=1,2$ và $3$, giả sử rằng $B_{n}$ là trung điểm của $A_{n} A_{n+1}$ và giả sử rằng $C_{n}$ là điểm giữa của $A_{n} B_{n}$. Giả sử rằng $A_{n} C_{n+1}$ và $B_{n} A_{n+2}$ gặp nhau tại $D_{n}$, và $A_{n} B_{n+1}$ và $C_{n} A_{n+2}$ gặp nhau tại $E_{n}$. Tính tỉ số diện tích tam giác $D_{1} D_{2} D_{3}$ với diện tích tam giác $E_{1} E_{2} E_{3}$. Trả lời: $\frac{25}{49}$.
Cho $S$ là một tập hợp bao gồm các cặp $m$ $(a, b)$ của các số nguyên dương với thuộc tính mà $1 \leq a \lt b \leq n$. Cho thấy rằng có ít nhất $$
4m \frac{\left(m-\frac{n^{2}}{4}\right)}{3n}
$$ $(a, b, c)$ sao cho $(a, b), (a, c)$ và $(b, c)$ thuộc về $S$.
Xác định tất cả các chức năng $f$ từ thực đến thực mà (1) $f(x)$ đang tăng nghiêm ngặt, (2) $f(x)+g(x)=2x$ cho tất cả $x$ thực, ở đâu $g(x)$ là chức năng nghịch đảo thành phần của $f(x)$. (Lưu ý: $f$ và $g$ được cho là nghịch đảo thành phần nếu $f(g(x))=x$ và $g(f(x))=x$ cho tất cả $x$ thực sự.)
$n$ là một số nguyên dương sao cho $\frac{n(n+1)}{3}$ là một hình vuông. Chứng minh rằng $n$ là bội số của $3$, và $n+1$ và $\frac{n}{3}$ là hình vuông.
Tam giác với các đỉnh $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(2, 0)$ được phản ánh nhiều lần trong ba dòng $AB$, $BC$, $CA$ nơi $A$ là $(0, 0)$, $B$ là $(3, 0)$, $C$ là $(0, 3)$. Chứng minh rằng một trong các hình ảnh có các đỉnh $(24, 36)$, $(24, 37)$ và $(26, 36)$.
tâm tròn của tứ diện nằm bên trong tứ diện. Chứng minh rằng ít nhất một trong các cạnh của nó dài bằng cạnh của một tứ diện đều có cùng một chu vi. (1989)
Gọi $Z$ là tập hợp các số nguyên. $f: Z \rightarrow Z$ được định nghĩa bởi $f(n) = n - 10$ cho $n \gt 100$ và $f(n) = f(f(n+11))$ cho $n = 100$. Tìm tập hợp các giá trị có thể có của $f$.
$A$ và $B$ chơi một trò chơi. Mỗi người có $10$ quân, đánh số từ $1$ đến $10$. Bàn chơi gồm hai hàng ô vuông: hàng thứ nhất đánh số từ $1$ đến $1492$, hàng thứ hai từ $1$ đến $1989$. Ở lượt thứ $n$, $A$ đặt quân mang số $n$ của mình vào một ô trống bất kỳ ở một trong hai hàng; sau đó $B$ đặt quân cùng số của mình vào một ô trống ở hàng còn lại. $B$ thắng nếu thứ tự các quân trong hai hàng giống nhau; nếu không, $A$ thắng. Ai có chiến lược thắng? Nếu mỗi người có $k$ quân, đánh số từ $1$ đến $k$, thì ai có chiến lược thắng? Kết quả thế nào nếu mỗi hàng gồm tất cả các số nguyên? Nếu mỗi hàng gồm tất cả các số hữu tỉ thì sao?
Cho các số $1, 2, 2^{2}, \ldots, 2^{n-1}$. Đối với một hoán vị cụ thể $\sigma = X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ của những con số này, chúng tôi xác định $S_{1}(\sigma) = X_{1}$, $S_{2}(\sigma) = X_{1} + X_{2}$, $S_{3}(\sigma) = X_{1} + X_{2} + X_{3}$, $\ldots$ và $Q(\sigma) = S_{1}(\sigma) S_{2}(\sigma) \cdots S_{n}(\sigma)$. Đánh giá $\sum 1 / Q(\sigma)$ trong đó tổng được thực hiện trên tất cả các hoán vị có thể.
Có những con khỉ $5$ và thang $5$ và ở trên cùng của mỗi thang có một quả chuối. Một số dây nối các thang, mỗi dây nối hai thang. Không có hai sợi dây nào được gắn vào cùng một bậc của cùng một bậc thang. Mỗi con khỉ bắt đầu ở dưới cùng của một bậc thang khác nhau. Những con khỉ leo lên thang nhưng mỗi khi chúng bắt gặp một sợi dây, chúng leo dọc theo nó đến bậc thang ở đầu kia của sợi dây và sau đó tiếp tục leo lên trên. Chứng minh rằng, dù có bao nhiêu dây thừng, mỗi con khỉ được một quả chuối.
Cho $ABC$ là tam giác vuông góc diện tích $1$. Gọi $A'B'C'$ là các điểm thu được bằng cách phản xạ $A$, $B$, $C$ tương ứng, ở các cạnh đối diện của chúng. Tìm diện tích $\triangle A'B'C'$.
Các số nguyên $1, 2, \ldots, n$ được đặt theo thứ tự sao cho mỗi giá trị lớn hơn tất cả các giá trị trước đó hoặc nhỏ hơn tất cả các giá trị trước đó. Điều này có thể được thực hiện bằng bao nhiêu cách?
Chứng minh rằng cho bảy số thực, bạn có thể chọn hai, nói $a$ và $b$, để $$
\sqrt{3}|a-b|\lt |1+a b|
$$ đưa ra ví dụ về sáu số thực không đáp ứng được tính chất này.
Gọi $\mathcal{D}$ là tập hợp các số phức có thể được viết dưới dạng $a+b \sqrt{-13}$, với $a, b$ số nguyên. Số $14=14+0 \sqrt{-13}$ có thể viết là tích của hai yếu tố $\mathcal{D}$: $14=2 \cdot 7$. Express 14 là tích của hai yếu tố của $\mathcal{D}$ theo mọi cách có thể.
Chứng minh rằng số $1989$ và tất cả các số nguyên của nó $1989^{n}$ có thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương của số nguyên dương và ít nhất hai cách khác nhau.
Chương trình của một môn học bao gồm các câu hỏi $n$; Kỳ thi bao gồm việc phát triển một trong những câu hỏi đó, được chọn ngẫu nhiên. Một học sinh chỉ biết một câu hỏi, nhưng có thể lặp lại thời gian thi $n$. thể hiện, như một hàm của $n$, xác suất $p_{n}$ để học sinh vượt qua kỳ thi. $p_{n}$ tăng hay giảm khi tăng $n$? Tính $$
\lim_{n \rightarrow \infty} p_{n}
$$ Cao nhất của các giới hạn dưới của xác suất $p_{n}$ là bao nhiêu?