Cho điểm $A_1 = (x_1, y_1, z_1)$, $A_2 = (x_2, y_2, z_2)$, ..., $A_n = (x_n, y_n, z_n)$ Cho $P = (x, y, z)$ là điểm thu nhỏ $\sum_{i=1}^n (|x - x_i| + |y - y_i| + |z - z_i|)$. Cho một ví dụ (cho mỗi $n \gt 4$) của điểm $A_i$ mà điểm $P$ nằm bên ngoài thân lồi của các điểm $A_i$.
Cho một điểm $p$ Bên trong một khối đa diện lồi $P$. cho thấy rằng có một khuôn mặt $F$ của $P$ sao cho chân của đường vuông $p$ đến $F$ nằm trong nội thất của $F$.
Hai người chơi luân phiên nhau. Người chơi đầu tiên được tặng một cặp số nguyên dương $(x_1, y_1)$. Mỗi người chơi phải thay cặp $(x_n, y_n)$ mà anh ta được cho bởi một cặp số nguyên không âm $(x_{n+1}, y_{n+1})$ sao cho $x_{n+1} = \min(x_n, y_n)$ và $y_{n+1} = \max(x_n, y_n) - k \cdot x_{n+1}$ cho một số dương số nguyên $k$. Người chơi đầu tiên vượt qua một cặp với $y_{n+1} = 0$ thắng. Tìm giá trị nào của $\frac{x_1}{y_1}$ Người chơi đầu tiên có chiến lược chiến thắng.
$A$ và $B$ muốn chia một chiếc bánh thành hai miếng. Mỗi người đều muốn mảnh lớn nhất mà mình có thể nhận được. Bánh là hình lăng trụ hình tam giác với các mặt tam giác nằm ngang. $A$ chọn một điểm $P$ trên mặt trên. $B$ sau đó chọn một mặt phẳng thẳng đứng qua điểm $P$ để chia bánh. $B$ chọn mảnh nào để lấy. điểm nào $P$ Nên $A$ Chọn để đảm bảo một lát càng lớn càng tốt?
$p(x_1, x_2, \dots, x_n)$ là đa thức với hệ số nguyên. Đối với mỗi số nguyên dương $r$, $k(r)$ là số $n$-TUPLES $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ sao cho $0 \le a_i \le r - 1$ và $p(a_1, a_2, \dots, a_n)$ là chính đến $r$. Chứng minh rằng nếu $u$ và $v$ là nguyên tố cùng nhau thì $k(u \cdot v) = k(u) \cdot k(v)$, và nếu $p$ là số nguyên tố thì $k(p^s) = p^{n(s-1)}k(p)$.
Đối với mỗi số nguyên dương $n$ cho thấy $$
[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] = [\sqrt{4n+1}] = [\sqrt{4n+2}] = [\sqrt{4n+3}]
$$ trong đó $[x]$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x$ (ví dụ: $[2.3]=2$, $[\pi]=3$, $[5]=5$).
Giả sử $ABCD$ là hình bình hành và $E$ là một điểm nằm giữa $B$ và $C$ trên dòng $BC$. Nếu các tam giác $DEC$, $BED$ và $BAD$ là các giá trị có thể có cho góc $DAB$ là bao nhiêu?
Số $1987$ có thể được viết dưới dạng số ba chữ số $x y z$ trong một số cơ sở $b$. Nếu $x + y + z = 1 + 9 + 8 + 7$, hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của $x, y, z, b$.
Trên một cánh đồng lớn, bằng phẳng $n$ Con người được định vị sao cho mỗi người khoảng cách với tất cả những người khác là khác nhau. Mỗi người cầm một khẩu súng lục và theo một tín hiệu nhất định sẽ bắn ra và đánh vào người gần nhất. Khi nào $n$ Thật kỳ lạ cho thấy rằng có ít nhất một người bị khô. Điều này có luôn đúng khi $n$ là thậm chí?
Nếu $a$ y $b$ là hai số thực khác nhau, giải hệ thống
$$
\begin{aligned}
x+y & =1 \\
(a x+b y)^2 & \leq a^2 x+b^2 y
\end{aligned}
$$
cũng giải quyết hệ thống
$$
\begin{aligned}
x+y & =1 \\
(a x+b y)^4 & \leq a^4 x+b^4 y
\end{aligned}
$$
Một tam giác đã cho $T$ phân hủy thành tam giác $T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{n}$ sao cho:
a) Không có cặp tam giác $T_{i}$ có điểm chung nội thất.
b) Sự kết hợp của tất cả các tam giác $T_{i}$ là $T$.
c) Mỗi phân đoạn là cạnh của một số tam giác $T_{i}$, hoặc là cạnh của một tam giác khác $T_{j}$, hoặc nó là cạnh của tam giác $T$. Gọi $s$ là tổng số cạnh (mỗi cạnh chỉ được tính một lần, ngay cả khi nó chung cho hai hình tam giác) và $v$ tổng số đỉnh (mỗi đỉnh chỉ được tính một lần, ngay cả khi nó chung cho một số tam giác). Chứng minh rằng nếu $n$ là lẻ, có một số phân rã của lớp này và tất cả chúng đều có cùng số $v$ và cùng số $s$. Express $v$ và $s$ trong chức năng của $n$. Cũng chứng tỏ rằng nếu $n$ là mệnh, không có sự phân hủy như vậy.
Gọi $p_{n}(k)$ là số hoán vị của bộ $\{1,2, \ldots, n\}$, $n \geq 1$, có chính xác điểm cố định $k$. Chứng minh rằng $$
\sum_{k=0}^{n} k p_{n}(k) = n!
$$ (Lưu ý: một hoán vị $f$ của một bộ $S$ là một ứng dụng sinh học của $S$ trên chính nó. $i$ $S$ được gọi là điểm cố định hoán vị $f$ nếu $f(i) = i$.)
Trong một tam giác $ABC$ ta có điểm $D$ và $E$ lần lượt trên $AB$ và $AC$. Chúng ta biết số đo của các góc được chỉ ra dưới đây: $\widehat{ABE}=30^\circ$, $\widehat{EBC}=50^\circ$, $\widehat{ACD}=20^\circ$ và $\widehat{DCB}=60^\circ$. Tìm giá trị của góc $\widehat{EDC}$.
Chứng minh rằng đối với tất cả các số tự nhiên $n\gt 1$ giữ $$
1 \cdot \sqrt{\left(\begin{array}{l}
n \\
1
\end{array}\right)}+2 \cdot \sqrt{\left(\begin{array}{l}
n \\
2
\end{array}\right)}+\cdots+n \cdot \sqrt{\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right)}\lt \sqrt{2^{n-1} n^{3}}
$$
Gọi $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác không cân. Ba vòng tròn đồng tâm của bán kính $a, b$ và $c$ được đưa ra.
a) có thể xây dựng được bao nhiêu tam giác đều của các khu vực khác nhau, sao cho các đường thẳng có các cạnh của chúng tiếp tuyến với mỗi đường tròn?
b) Tìm bề mặt của các tam giác này.
Trong tam giác nhọn $ABC$ đường phân giác bên trong của góc $A$ cắt $BC$ tại $L$ và cắt chu vi vòng quanh của $ABC$ lại trên $N$. Chúng tôi vẽ các đường vuông góc từ $L$ đến $AB$ và $AC$, với chân $K$ và $M$, tương ứng. Chứng minh tứ giác $AKNM$ và tam giác $ABC$ có cùng diện tích.
Cho $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, số thực gặp $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1$. Chứng minh rằng đối với mỗi số nguyên $k \geq 2$, không phải tất cả các số nguyên null $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, chẳng hạn như $\left|a_{i}\right| \leq k-1$ cho tất cả $i$ và $$
\left|a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\right| \leq \frac{(k-1) \sqrt{n}}{k^{n}-1}
$$
Đối với mỗi số tự nhiên $n$ ta xét đa thức $$
P_{n}(x)=x^{n+2}-2x+1
$$
a) chứng minh rằng phương trình $P_{n}(x)=0$ có gốc $c_{n}$ và chỉ một trong khoảng $(0,1)$.
b) Tính $$
\lim_{n \rightarrow \infty} c_{n}
$$