MathNet 1977 — Phần 01

Nếu $f(x) = x^{2} + x$, chứng minh rằng phương trình $4 f(a) = f(b)$ không có nghiệm trong số nguyên dương $a$ và $b$.

Cho $$
p(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0}
$$ và $$
q(x) = b_{m} x^{m} + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_{1} x + b_{0}
$$ là hai đa thức có hệ số nguyên. Giả sử rằng tất cả các hệ số của tích $p(x) \cdot q(x)$ là chẵn nhưng không phải tất cả chúng đều chia hết cho $4$. Chứng minh rằng một trong các $p(x)$ và $q(x)$ có tất cả các hệ số chẵn và hệ số kia có ít nhất một hệ số lẻ.

$N$ là một số nguyên có biểu diễn trong cơ sở $b$ là $777$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $b$ mà $N$ là lũy thừa thứ tư của một số nguyên.

Một thành phố hình chữ nhật chính xác là các khối $m$ dài và các khối $n$ rộng (xem sơ đồ). Một phụ nữ sống ở góc tây nam của thành phố và làm việc ở góc đông bắc. Cô ấy đi bộ đến nơi làm việc mỗi ngày nhưng, trong bất kỳ chuyến đi nào, cô ấy đảm bảo rằng con đường của cô ấy không bao gồm bất kỳ giao lộ nào hai lần. Cho thấy rằng số $f(m, n)$ của các con đường khác nhau mà cô ấy có thể thực hiện để thỏa mãn $f(m, n) \leq 2^{m n}$.

Một hình nón hình tròn bên phải của bán kính cơ sở $1$ cm và chiều cao nghiêng $3$ cm được đưa ra. $P$ là một điểm trên chu vi của cơ sở và đường đi ngắn nhất từ $P$ xung quanh hình nón và quay lại $P$ được vẽ (xem sơ đồ). Khoảng cách tối thiểu từ đỉnh $V$ đến đường dẫn này là bao nhiêu?

Gọi $O$ là tâm của một hình tròn và $A$ là một điểm bên trong cố định của vòng tròn khác với $O$. Xác định tất cả các điểm $P$ trên chu vi của đường tròn sao cho góc $OPA$ là cực đại.

Cho 1000 tấm vuông trong mặt phẳng với các cạnh của chúng song song với trục tọa độ (nhưng có thể chồng lên nhau và có thể có kích thước khác nhau). Gọi $S$ là tập hợp các điểm được bao phủ bởi các tấm. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một tập hợp con $T$ sao cho mọi điểm của $S$ được bao phủ bởi ít nhất một và nhiều nhất là bốn tấm trong $T$.

Mỗi đỉnh của một khối đa diện lồi có ba cạnh. Mỗi mặt là một đa giác theo chu kỳ. Chứng minh rằng các đỉnh của nó đều nằm trên một hình cầu.

Các số nguyên dương $a_1$, $a_2$, ..., $a_m$, $b_1$, $b_2$, ..., $b_n$ thỏa mãn: $a_1 + a_2 + \ldots + a_m = b_1 + b_2 + \ldots + b_n \lt mn$. Chứng minh rằng chúng ta có thể xóa một số (nhưng không phải tất cả) các số để tổng số $a$ còn lại bằng tổng số $b$ còn lại.

Cho một đa thức $x^{10} + a_9 x^9 + \ldots + a_1 x + 1$. Hai người chơi luân phiên chọn một trong các hệ số $a_1$ đến $a_9$ (chưa được chọn trước đây) và gán giá trị thực cho nó. Người chơi đầu tiên thắng IFF Đa thức kết quả không có gốc thực. Ai thắng?

Bảy yêu tinh ngồi vào bàn. Mỗi yêu tinh có một chiếc cốc. Tổng cộng các cốc chứa $3$ lít sữa. Lần lượt từng yêu tinh đưa tất cả sữa của mình cho những người khác bằng nhau. Vào cuối quá trình, mỗi ELF có cùng một lượng sữa như lúc bắt đầu. Đó là gì?

Các điểm $n$ nằm trong mặt phẳng, không phải tất cả trên một đường thẳng. một số thực được gán cho mỗi điểm. Tổng của các số bằng 0 cho tất cả các điểm nằm trên bất kỳ đường thẳng nào. Chứng minh rằng tất cả các số được chỉ định phải bằng không.

Có các tuyến đường trực tiếp giữa mỗi hai thành phố trong một quốc gia. Giá vé giữa mỗi cặp thành phố là như nhau ở cả hai hướng. Hai du khách quyết định đến thăm tất cả các thành phố. Khách du lịch đầu tiên bắt đầu tại một thành phố và đi đến thành phố với giá vé đắt nhất (hoặc nếu có một số như vậy, bất kỳ ai trong số họ). Sau đó, anh ta lặp lại quá trình này, không bao giờ đến thăm một thành phố hai lần, cho đến khi anh ta đến tất cả các thành phố (vì vậy anh ta kết thúc ở một thành phố khác với thành phố mà anh ta bắt đầu). Du khách thứ hai cũng có kế hoạch tương tự, ngoại trừ việc anh ta luôn chọn giá vé rẻ nhất, và không nhất thiết phải bắt đầu ở cùng một thành phố. cho thấy rằng khách du lịch đầu tiên chi tiêu ít nhất nhiều nhất cho giá vé như lần thứ hai.

Cho một dãy $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ của số nguyên dương. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các tổng của một hoặc nhiều thành viên của chuỗi. Chứng minh rằng $S$ có thể được chia thành các tập con $n$ sao cho thành viên nhỏ nhất của mỗi tập hợp con ít nhất là một nửa thành viên lớn nhất.

Bạn được tặng một bộ cân và một bộ $n$ các trọng lượng khác nhau. $R$ đại diện cho trạng thái mà chảo bên phải nặng hơn, $L$ đại diện cho trạng thái mà chảo bên trái nặng hơn và $B$ đại diện cho trạng thái mà chảo cân bằng. Cho thấy rằng với bất kỳ chuỗi ký tự $n$ nào của $R$S và $L$S, bạn có thể đặt các trọng số lên cân cùng một lúc để chuỗi đại diện cho các trạng thái liên tiếp của thang đo. Ví dụ: nếu trọng số là $1$, $2$ và $3$ và chuỗi là $LRL$, thì bạn sẽ đặt $1$ vào bên trái, sau đó $2$ trong chảo bên phải, sau đó $3$ ở chảo bên trái.

(1) Tam giác $ABC$ được nội tiếp hình tròn. $D$ là trung điểm của ARC $BC$ (không chứa $A$), tương tự $E$ và $F$. Chứng minh rằng hình lục giác được hình thành bởi giao điểm của $ABC$ và $DEF$ có các đường chéo chính của nó song song với các cạnh của $ABC$ và giao nhau tại một điểm duy nhất. (2) $EF$ gặp $AB$ tại $X$ và $AC$ tại $Y$. Chứng minh rằng $AXIY$ là hình thoi, trong đó $I$ là tâm của vòng tròn được ghi trong $ABC$.

Cho một hình vuông $100 \times 100$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Một số con đường được vẽ. Mỗi đường được vẽ dọc theo các cạnh của các ô vuông đơn vị. Mỗi đường dẫn có các điểm cuối của nó ở các cạnh của hình vuông lớn, nhưng không chứa bất kỳ điểm nào khác là các đỉnh của hình vuông đơn vị và nằm trên các cạnh hình vuông lớn. Không có con đường nào giao nhau giữa chính nó hoặc bất kỳ con đường nào khác. Chứng minh rằng có một đỉnh ngoài bốn góc của hình vuông lớn không nằm trên bất kỳ con đường nào.

Một đa thức là monic nếu hệ số hàng đầu của nó là $1$. Hai đa thức $p(x)$ và $q(x)$ đi lại nếu $p(q(x)) = q(p(x))$. (1) Tìm tất cả các đa thức monic có độ $3$ trở xuống đi làm với $x^2 - k$. (2) Cho một đa thức monic $p(x)$, chứng tỏ rằng có nhiều nhất một đa thức monic có độ $n$ đi kèm với $p(x)^2$. (3) Tìm các đa thức được mô tả trong (2) cho $n = 4$ và $n = 8$. (4) Nếu $q(x)$ và $r(x)$ là các đa thức monic mà cả hai đều đi cùng với $p(x)^2$, hãy hiển thị rằng $q(x)$ và $r(x)$ đi làm. (5) Chứng minh rằng có một dãy đa thức $p_2(x), p_3(x), \ldots$ sao cho $p_2(x) = x^2 - 2$, $p_n(x)$ có độ $n$ và tất cả các đa thức trong dãy đi làm.

$P$ là một đa giác. Các cạnh của nó không giao nhau ngoại trừ ở các đỉnh của nó, và không có ba đỉnh nằm trên một đường thẳng. Cặp bên $AB$, $PQ$ được gọi là đặc biệt nếu (1) $AB$ và $PQ$ không chia sẻ một đỉnh và (2) hoặc dòng $AB$ cắt đoạn $PQ$ hoặc dòng $PQ$ cắt đoạn $AB$. Chứng minh rằng số cặp đặc biệt là chẵn.

Các quân màu đen và trắng được đặt xung quanh một vòng tròn. Đầu tiên, tất cả các quân màu đen với một hoặc hai hàng xóm màu trắng đều bị xóa. Sau đó, tất cả các quân màu trắng với một hoặc hai hàng xóm màu đen sẽ bị xóa. Sau đó, tất cả các quân màu đen với một hoặc hai hàng xóm màu trắng, v.v. cho đến khi tất cả các quân có cùng màu. Có thể sắp xếp 40 quân để chỉ còn lại một sau 4 lần di chuyển? Số lần di chuyển tối thiểu có thể có để chuyển từ 1000 quân sang một quân là bao nhiêu?